已知定義在[-1，1]上的單調函數(shù)f（x）滿足f(1/3)＝log23，且對于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；（2）試求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范圍．

已知定義在[-1，1]上的單調函數(shù)f（x）滿足f(

)＝log23，且對于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（2）試求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范圍．

數(shù)學人氣：200 ℃時間：2019-08-17 11:26:06

優(yōu)質解答

（1）由題意可知：令x=y=0，則
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函數(shù)為單調函數(shù)，且f(

)＝

log

＞f（0）=0，∴函數(shù)在[-1，1]上為增函數(shù)，
所以

?1≤1?m≤1

?1≤2m?1≤1

1?m＜2m?1

，
解得：

＜m≤1
∴m的取值范圍為：

＜m≤1．

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