（h代表約化Planck const.)
先看一維無窮勢(shì)井,假定粒子限定在x=a,x=b處（b>a）；
那么歸一化波函數(shù)：ψn=√[2/(b-a)]*sin[nπx/(b-a)]；
能級(jí)：En=n^2*π^2*h^2/[2m(b-a)^2]
然后看你這個(gè)問題：先寫出Hamiltonion:
H=[-h^2/2m*▽^2+V(r)],
在：r∈(a,b)的區(qū)域,勢(shì)能為0,
并注意算符▽^2,在球坐標(biāo)下：
▽^2=1/r^2*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)]+1/(r^2*sinθ)*[∂/∂θ*(sinθ*∂/∂θ)]+1/(r*sinθ)^2*(∂^2/∂φ^2)
=1/r^2*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-L^2/h^2]
那么r∈(a,b)區(qū)域的定態(tài)Schrodinger Eq就要寫成：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-L^2/h^2]ψ=Eψ.（1）
顯然這樣看的話,L^2,Lz都與H對(duì)易,所以可以選一組力學(xué)量的完全集（H,L^2,Lz）的共同本征函數(shù)作為完備正交歸一的本征函數(shù)族,這樣的話,算符L^2作用上去就有：L^2ψ=l(l+1)h^2ψ,所以第一個(gè)式子改寫一下就是：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-l(l+1)/h^2]ψ=Eψ.(2)
由于要求基態(tài),所以軌道角動(dòng)量要為0,即l=0,所以（2）就要寫成：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r]ψ=Eψ.(3)
解（3）式并不費(fèi)勁,先分離變量令ψ=R（r）*Y(θ,φ)；則（3）式改寫為：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r]R=E*R.(4)
解（4）只需再做一步換元,令u=rR,代入（4）就得：
u''+2mE/h^2*u=0
上式與一維無窮勢(shì)井中的Schrodinger Eq一樣,所以直接把最開始給你的波函數(shù)和能級(jí)拿來用就ok了~即波函數(shù)為：
（基態(tài)n=1,l=0,m=0）u=√[2/(b-a)]*sin[πr/(b-a)]*Y_00
注意u=rR,而且Y_00是常數(shù),所以波函數(shù)應(yīng)為：
ψ=√[2/(b-a)]/r*sin[πr/(b-a)]
基態(tài)能量為：E=π^2*h^2/[2m(b-a)^2]