數(shù)學(xué)中的空間,spaces in mathematics
物理空間概念的延伸和抽象.如歐幾里得空間、雙曲空間、黎曼空間、各種函數(shù)空間和拓?fù)淇臻g等等.它們反映了人們對(duì)空間結(jié)構(gòu)各種屬性認(rèn)識(shí)的發(fā)展.
最早的數(shù)學(xué)空間概念是歐幾里得空間.它來源于對(duì)空間的直觀,反映了空間的平直性、均勻性、各向同性、包容性、位置關(guān)系（距離）、三維性,乃至無窮延伸性、無限可分性、連續(xù)性等方面的初步認(rèn)識(shí).但在很長時(shí)期里,人們對(duì)空間的理解只局限于歐幾里得幾何學(xué)的范圍,認(rèn)為它與時(shí)間無關(guān).19世紀(jì)20年代,非歐幾何的出現(xiàn)突破了歐幾里得空間是唯一數(shù)學(xué)空間的傳統(tǒng)觀念.非歐幾里得幾何的空間概念具有更高的抽象性,它與歐幾里得空間統(tǒng)一成常曲率空間,而常曲率空間又是黎曼空間的特殊形式.19世紀(jì)中葉,G.F.B.黎曼還引進(jìn)流形概念.這些概念不僅對(duì)物理空間的認(rèn)識(shí)起了很大作用,而且也大大豐富了數(shù)學(xué)中的空間概念.
19世紀(jì)末20世紀(jì)初,人們給出了維數(shù)的拓?fù)涠x,并對(duì)函數(shù)空間的度量性質(zhì)進(jìn)行深入研究,從而產(chǎn)生了一系列重要的數(shù)學(xué)空間概念,特別是一般的拓?fù)淇臻g概念.20世紀(jì)30年代后,數(shù)學(xué)中的各種空間在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上得到統(tǒng)一處理,人們對(duì)各種數(shù)學(xué)空間獲得較完善的認(rèn)識(shí),并隨著對(duì)物理空間認(rèn)識(shí)的深入以及數(shù)學(xué)研究的發(fā)展,從代數(shù)、幾何、拓?fù)浞矫嫱茝V各種數(shù)學(xué)上的空間觀念.在代數(shù)方面對(duì)空間概念的推廣主要來源于解析幾何的產(chǎn)生和發(fā)展.幾何對(duì)象（點(diǎn)、線等）與數(shù)組結(jié)成對(duì)應(yīng)關(guān)系,使人們可以對(duì)空間進(jìn)行精確的定量描述.這樣便容易把坐標(biāo)三數(shù)組推廣到坐標(biāo) n數(shù)組（向量）,其所對(duì)應(yīng)的空間即為 n維線性空間或向量空間.這種空間從維數(shù)上對(duì)歐幾里得空間做了推廣,但抽去了歐幾里得空間中的距離概念.實(shí)數(shù)域上的線性空間通?？梢酝茝V到一般域上,特別是有限域上的線性空間成了只有有限多個(gè)點(diǎn)的空間,其空間的連續(xù)性也被舍棄了.從代數(shù)和幾何方面,可以把空間推廣成仿射空間和射影空間.射影空間可通過幾何方法或坐標(biāo)方法把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)線包括在內(nèi).另外,也可以通過數(shù)組、相空間、狀態(tài)空間等等使各種空間成為物理學(xué)乃至其他科學(xué)處理運(yùn)動(dòng)的直觀模型.
空間的更抽象形式是拓?fù)淇臻g.由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)反映點(diǎn)與點(diǎn)之間的親疏遠(yuǎn)近關(guān)系,因而在拓?fù)淇臻g中歐幾里得空間的距離和向量空間的向量長度這些概念都被舍棄了.
人們對(duì)各種數(shù)學(xué)空間的研究,反映了人們從局部、粗淺的直觀到更深刻地認(rèn)識(shí)空間的各種屬性的過程.例如,拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展,使人們對(duì)空間的維數(shù)、連續(xù)性、開閉性、空間的有邊和無邊以及空間的定向都有了更深入、更本質(zhì)的理解.流形的研究對(duì)于空間的有限與無限、局部與整體的認(rèn)識(shí)也產(chǎn)生了飛躍.流形概念是空間概念的重要發(fā)展.它從局部上看是歐幾里得空間,但從整體上看可以有各種形式.它可開可閉,可有邊可無邊.這種深刻的認(rèn)識(shí)對(duì)于物理空間的研究有著推動(dòng)作用.例如,閔可夫斯基空間是狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)模型,黎曼空間則成為廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)模型（見相對(duì)論）.