請(qǐng)用局部變動(dòng)法證明幾何平均數(shù)一定小于等于算術(shù)平均數(shù)
“兩個(gè)數(shù)a和b,現(xiàn)在我已經(jīng)知道它們的和是S,那么它們的乘積最大是多少?或許大家都知道,當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí),兩數(shù)相等時(shí)乘積最大.也就是說(shuō),問(wèn)題的答案就是((a+b)/2)^2.證明這個(gè)結(jié)論很簡(jiǎn)單,我們可以通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算看出,對(duì)于任意的a和b,((a+b)/2)^2不會(huì)小于ab.用前面的減去后面的,我們有
((a+b)/2)^2 - ab
= (a^2+2ab+b^2)/4 - ab
= (a^2-2ab+b^2)/4
= ((a-b)/2)^2
可以看到,前者減去后者的差始終非負(fù),并且僅當(dāng)a=b時(shí)差值為0.
下面考慮n個(gè)數(shù)a1,a2,...,an,現(xiàn)在已經(jīng)知道它們的和是S,那么它們的乘積最大是多少?你也許不知道相關(guān)的定理,以前也不曾想過(guò)這個(gè)問(wèn)題,但稍加思考你會(huì)說(shuō),當(dāng)這n個(gè)數(shù)都相等時(shí)乘積最大.你或許以為你是憑直覺(jué)想到了這個(gè)結(jié)論,但事實(shí)上你的大腦已經(jīng)不自覺(jué)地使用了局部變動(dòng)法.固定其它n-2個(gè)數(shù)不變,只考慮其中兩個(gè)數(shù),那么很顯然這兩個(gè)數(shù)的和也已經(jīng)固定了,并且增大它們的積也就可以改進(jìn)整個(gè)問(wèn)題的答案.而要想讓這兩個(gè)數(shù)的積最大,它們必須得相等才行.運(yùn)用局部變動(dòng)原理,則只有任兩個(gè)數(shù)都相等,這n個(gè)數(shù)的乘積才會(huì)最大.此時(shí),這n個(gè)數(shù)的值都等于(a1+a2+...+an)/n,只有這樣它們的乘積才可能是最大的,任何其它情況下的a1*a2*...*an都比它小.
仿照上面給出的式子,我們把這個(gè)結(jié)論寫(xiě)成如下形式：
( (a1+a2+...+an)/n )^n >= a1*a2*...*an
兩邊同時(shí)開(kāi)n次方,我們的結(jié)論赫然出現(xiàn)：n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù).”
這個(gè)太籠統(tǒng),那位仁兄能夠幫忙把這個(gè)寫(xiě)成數(shù)學(xué)的證明過(guò)程,要數(shù)學(xué)語(yǔ)言,符號(hào)表示的那種,吾感激不盡.