個(gè)人覺(jué)得這個(gè)結(jié)論最方便的證法還是用數(shù)學(xué)歸納法,計(jì)算不困難,同時(shí)只用到和角公式.
如果一定要利用Euler公式,可以借助以下觀(guān)察:
行列式為1的2階正交矩陣總能表示為[cos(θ),-sin(θ); sin(θ),cos(θ)],記為S(θ).
證明很容易,只用到正交矩陣各列構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,以及行列式為1的條件,具體就不寫(xiě)了.
矩陣S(θ)的特征多項(xiàng)式為x²-2cos(θ)x+1 = 0,特征值為e^(iθ)與e^(-iθ),分別對(duì)應(yīng)特征向量(1,-i)'與(1,i)'.
故對(duì)可逆矩陣T = [1,1;-i,i]有:T^(-1)·S(θ)T = [e^(iθ),0; 0,e^(-iθ)] (對(duì)任意θ均成立).
于是T^(-1)·S(θ)^n·T = [e^(iθ),0; 0,e^(-iθ)]^n = [e^(inθ),0; 0,e^(-inθ)] = T^(-1)·S(nθ)T.
由T可逆,得S(θ)^n = S(nθ),即所求證.
還有一種看法,定義矩陣指數(shù)函數(shù)exp(X) = ∑{0 ≤ k} X^k/k!.
可證明該級(jí)數(shù)對(duì)任意方陣收斂,并具有性質(zhì):
若X,Y都是n階方陣并滿(mǎn)足XY = YX,則exp(X)exp(Y) = exp(X+Y).
作為推論,有exp(X)^n = exp(nX).
考慮矩陣J = [0,-1,1,0],易驗(yàn)證J² = -E,故J^(2k) = (-1)^k·E,J^(2k+1) = (-1)^k·J.
于是可得exp(θJ) = ∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k)/(2k)!·E+∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k+1)/(2k+1)!·J
= (∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k)/(2k)!)·E+(∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k+1)/(2k+1)!)·J
= cos(θ)E+sin(θ)J
= S(θ).
故S(θ)^n = exp(θJ)^n = exp(nθJ) = S(nθ),即所求證.
最后多說(shuō)一點(diǎn),其實(shí)復(fù)數(shù)a+bi可對(duì)應(yīng)為二階實(shí)矩陣[a,-b;b,a],可驗(yàn)證這個(gè)對(duì)應(yīng)保持運(yùn)算(代數(shù)同態(tài)).
而此時(shí)復(fù)數(shù)e^(iθ)所對(duì)應(yīng)的矩陣恰為S(θ),e^(inθ) = (e^(iθ))^n對(duì)應(yīng)矩陣S(nθ).
由該對(duì)應(yīng)保持運(yùn)算即得S(nθ) = S(θ)^n.