古希臘三個著名問題之一的三等分角,現(xiàn)在美國就連許多沒學(xué)過數(shù)學(xué)的人也都知道．美國的數(shù)學(xué)雜志社和以教書為職業(yè)的數(shù)學(xué)會員,每年總要收到許多“角的三等分者”的來信；并且,在報紙上常見到：某人已經(jīng)最終地“解決了”這個不可捉摸的問題．這個問題確實是三個著名的問題中最容易理解的一個,因為二等分角是那么容易,這就自然會使人們想到三等分角為什么不同樣的容易呢?
用歐幾里得工具,將一線段任意等分是件簡單的事；也許古希臘人在求解類似的任意等分角的問題時,提出了三等分角問題；也許(更有可能)這問題是在作正九邊形時產(chǎn)生的,在那里,要三等分一個60°角．
在研究三等分角問題時,看來希臘人首先把它們歸結(jié)成所謂斜向(verging problem)問題．任何銳角ABC(參看圖31)可被取作矩形BCAD的對角線BA和邊BC的夾角．考慮過B點的一條線,它交CA于E,交DA之延長線于F,且使得EF=2(BA)．令G為EF之中點,則
EG=GF=GA=BA,
從中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC,
并且BEF三等分∠ABC．因此,這個問題被歸結(jié)為在DA的延長線和AC之間,作一給定長度2(BA)的線段EF,使得EF斜向B點．
如果與歐幾里得的假定相反,允許在我們的直尺上標(biāo)出一線段E’F’=2(BA),然后調(diào)整直尺的位置,使得它過B點,并且,E’在AC上,F’在DA的延長線上；則∠ABC被三等分．對直尺的這種不按規(guī)定的使用,也可以看作是：插入原則(the insertion principle)的一種應(yīng)用．這一原則的其它應(yīng)用,參看問題研究4．6．
為了解三等分角歸結(jié)成的斜向問題,有許多高次平面曲線已被發(fā)現(xiàn)．這些高次平面曲線中最古老的一個是尼科梅德斯(約公元前240年)發(fā)現(xiàn)的蚌線．設(shè)c為一條直線,而O為c外任何一點,P為c上任何一點,在PO的延長線上截PQ等于給定的固定長度k．于是,當(dāng)P沿著c移動時,Q的軌跡是c對于極點O和常數(shù)k的蚌線(conchoid)(實際上,只是該蚌線的一支)．設(shè)計個畫蚌線的工具并不難①,用這樣一個工具,就可以很容易地三等分角．這樣,令∠AOB為任何給定的銳角,作直線MN垂直于OA,截OA于D,截OB于L(如圖32所示)．然后,對極點O和常數(shù)2(OL),作MN的蚌線．在L點作OA的平行線,交蚌線于C．則OC三等分∠AOB．
借助于二次曲線可以三等分一個一般的角,早期希臘人還不知道這一方法．對于這種方法的最早證明是帕普斯(Pappus,約公元300年)．利用二次曲線三等分角的兩種方法在問題研究4．8中可以找到．
有一些超越(非代數(shù)的)曲線,它們不僅能夠?qū)σ粋€給定的角三等分,而且能任意等分．在這這樣的曲線中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias,約公元前425年)發(fā)明的割圓曲線(quadratrix)和阿基米得螺線(spiral of Archimeds)．這兩種曲線也能解圓的求積問題．關(guān)于割圓曲線在三等分角和化圓為方問題上的應(yīng)用,見問題研究4．10．
多年來,為了解三等分角問題,已經(jīng)設(shè)計出許多機械裝置、聯(lián)動機械和復(fù)合圓規(guī)．①參看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一個有趣的工具叫做戰(zhàn)斧,不知道是誰發(fā)明的,但是在1835年的一本書中講述了這種工具．要制做一個戰(zhàn)斧,先從被點S和T三等分的線段RU開始,以SU為直徑作一半圓,再作SV垂直于RU,如圖33所示．用戰(zhàn)斧三等分∠ABC時,將這一工具放在該角上,使R落在BA上,SV通過B點,半圓與BC相切于D．于是證明：△RSB,△TSB,△TDB都全等,所以,BS和BT三等分給定的角．可以用直尺和圓規(guī)在描圖紙上繪出戰(zhàn)斧,然后調(diào)整到給定的角上．在這種條件下,我們可以說用直角和圓規(guī)三等分一個角(用兩個戰(zhàn)斧,則可以五等分一個角)．
歐幾里得工具雖然不能精確地三等分任意角,但是用這些工具的作圖方法,能作出相當(dāng)好的近似的三等分．一個卓越的例子是著名的蝕刻師、畫家A．丟勒(Albrecht Durer)于1525年給出的作圖方法．取給定的∠AOB為一個圓的圓心角(參看圖34),設(shè)C為弦AB的靠近B點的三等分點．在C點作AB的垂線交圓于D．以B為圓心,以BD為半徑,作弧交AB于E．設(shè)令F為EC的靠近E點的三等分點,再以B為圓心,以BF為半徑,作弧交圓于G．那么,OG就是∠AOB的近似的三等分線．我們能夠證明：三等分中的誤差隨著∠AOB的增大而增大；但是,對于60°的角大約只差1〃,對于90°角大約只差18〃．