設(shè)a,b是有理數(shù),則a,b可以表示為分?jǐn)?shù)的形式.
不妨假設(shè)a=p1/q1,b=p2/q2
1.有理數(shù)對加法封閉,即a+b=p1/q1+p2/q2=(p1*q2+p2*q1)/q1*q2仍然是分?jǐn)?shù).
2.有理數(shù)對乘法封閉,即a*b=(p1*q1)/(p2*q2)仍然是分?jǐn)?shù).
3.對加法有單位元0,對乘法有單位元1.
4.對加法每個元素x有逆元-x,且-x也在有理數(shù)集內(nèi).
5.對加法每個元素x有逆元1/x,且1/x也在有理數(shù)集內(nèi).
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總之對于域的每條定理一一驗證.證明都是很顯然的.我記不清域的所有定理了,不能全部寫出,很抱歉.可以參考《近世代數(shù)》.
當(dāng)然,由于域是一種特殊的環(huán),也可先證有理數(shù)為環(huán),再附加條件使其成為域.