如圖，已知A，B，C為不在同一直線上的三點，且AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1．（1）求證：平面ABC∥平面A1B1C1；（2）若AA1⊥平面ABC，且AC=AA1=4，BC=3，AB=5，求證：A1C丄平面AB1C1 （

如圖，已知A，B，C為不在同一直線上的三點，且AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁．

（1）求證：平面ABC∥平面A₁B₁C₁；
（2）若AA₁⊥平面ABC，且AC=AA₁=4，BC=3，AB=5，求證：A₁C丄平面AB₁C₁
（3）在（2）的條件下，設(shè)點P為CC₁上的動點，求當PA+PB₁取得最小值時PC的長．

數(shù)學(xué)人氣：503 ℃時間：2019-08-19 20:48:15

優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明：∵AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁
∴四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，（1分）
∴AC∥A₁C₁，
∵AC?面A₁B₁C₁，A₁C₁?面A₁B₁C₁
∴AC∥平面A₁B₁C₁，（3分）
同理可得BC∥平面A₁B₁C₁，
又AC∩CB=C，
∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁（4分）
（2）證明：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC，（5分）
∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC （6分）
∵平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面ACC₁A₁，（7分）
∴BC⊥A₁C，
∵BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁C
又AA₁⊥AC，AC=AA₁，得ACC₁A₁為正方形，∴A₁C⊥AC₁（8分）
又AC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁C丄平面AB₁C₁（9分）
（3）將三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面ACC₁A₁繞側(cè)棱CC₁旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面BCC₁B₁在同一平面內(nèi)如圖示，
連結(jié)AB₁交CC₁于點P，則由平面幾何的知識知，這時PA+PB₁取得最小值，（12分）
∵PC∥BB₁
∴

BB1

＝

?PC＝

AC?BB1

＝

．（14分）

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