證明極值定理的基本步驟為：
1.證明有界性定理.
2.尋找一個序列,它的像收斂于f的最小上界.
3.證明存在一個子序列,它收斂于定義域內(nèi)的一個點.
4.用連續(xù)性來證明子序列的像收斂于最小上界.
有界性定理的證明
假設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b]內(nèi)沒有上界.那么,根據(jù)實數(shù)的阿基米德原理,對于每一個自然數(shù)n,都存在[a,b]內(nèi)的一個xn,使得f(xn) > n.這便定義了一個序列{xn}.由于[a,b]是有界的,根據(jù)波爾查諾-魏爾施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一個收斂的子序列{x_{n_k}}.把它的極限記為x.由于[a,b]是閉區(qū)間,它一定含有x.因為f在x處連續(xù),我們知道{f(x_{n_k})}收斂于實數(shù)f(x).但對于所有的k,都有f(x_{n_k}) > nk ≥ k,這意味著{f(x_{n_k})}發(fā)散于無窮大.得出矛盾.因此,f在[a,b]內(nèi)有上界.證畢.
極值定理的證明
我們現(xiàn)在證明函數(shù)f在區(qū)間[a,b]內(nèi)有最大值.根據(jù)有界性定理,f有上界,因此,根據(jù)實數(shù)的戴德金完備性,f的最小上界M存在.我們需要尋找[a,b]內(nèi)的一個d,使得M = f(d).設(shè)n為一個自然數(shù).由于M是最小上界,M – 1/n就不是f的最小上界.因此,存在[a,b]內(nèi)的dn,使得M – 1/n < f(dn).這便定義了一個序列{dn}.由于M是f的一個上界,我們便有M – 1/n < f(dn) ≤ M,對于所有的n.因此,序列{f(dn)}收斂于M.
根據(jù)波爾查諾-魏爾施特拉斯定理,可知存在一個子序列{d_{n_k}},它收斂于某個d,且由于[a,b]是閉區(qū)間,d位于[a,b]內(nèi).因為f在d處連續(xù),所以序列{f(d_{n_k})}收斂于f(d).但{f(d_{n_k})}是{f(dn)}的一個子序列,收斂于M,因此M = f(d).所以,f在d處取得最小上界M.證畢.