第一題打錯(cuò)了吧,應(yīng)該是ab+bc+ca = 1.
就這兩道題來(lái)說(shuō)都不用討論等號(hào)成立.
不管用什么方法,只要證出來(lái)a+b+c ≥ √3與1/a+1/b ≥ 4/(a+b)即可.
如果題目本身要求討論等號(hào)成立條件,當(dāng)然沒(méi)話說(shuō).
如果沒(méi)有這個(gè)要求,那就不用討論.
不過(guò)多數(shù)題目都是可以取到等號(hào)的,如果多步放縮中等號(hào)不能同時(shí)成立,那就放過(guò)了.
因此等號(hào)成立條件常常為放縮指明方向.
另外,如果第一題換個(gè)說(shuō)法,要求a+b+c的最小值,那就要驗(yàn)證等號(hào)能夠成立.
因?yàn)樽钚≈凳切枰軌蛉〉降?
如果放縮過(guò)了,例如由4a²+b² ≥ 4ab,4b²+c² ≥ 4bc,4c²+a² ≥ 4ca,
得到5(a²+b²+c²) ≥ 4(ab+bc+ca) = 4,于是(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) ≥ 4/5+2 = 12/5.
證出來(lái)a+b+c ≥ 2√15/5,雖然結(jié)論是正確的,但2√15/5不是最小值,因?yàn)榈忍?hào)不能成立.
不過(guò)求最值的問(wèn)題一般不用討論所有取等情況,除非題目要求求出所有最值點(diǎn)(有時(shí)不唯一).