已知二次函數(shù)f（x）同時滿足下列條件：（1）f（x+1）=f（1-x），（2）f（x）的最大值15，（3）f（x）=0的兩根立方和等于17，求f（x）的解析式．

已知二次函數(shù)f（x）同時滿足下列條件：
（1）f（x+1）=f（1-x），
（2）f（x）的最大值15，
（3）f（x）=0的兩根立方和等于17，求f（x）的解析式．

數(shù)學(xué)人氣：516 ℃時間：2019-08-30 14:13:57

優(yōu)質(zhì)解答

∵二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），函數(shù)關(guān)于x=1對稱，
可設(shè)f（x）=a（x-1）²+b，
∵f（x）的最大值15，
∴x=1時，b=15，且開口向下，
a＜0，∴y=a（x-1）²+b=ax²-2ax+a+15，
設(shè)方程兩個根為x₁，x₂，
可得x₁+x₂=2，x₁?x₂=

a+15

，
∵x₁³+x₂³=17，
∴（x₁+x₂）³=x₁³+x₂³+3x₁?x₂（x₁+x₂），
∴2³=17+3×2×

15+a

，解得a=-6，
∴y=-6（x-1）²+15；

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