假設(shè)根號(hào)2為有理數(shù),那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)p,q,使得:
根號(hào)2=p/q
于是
p=(根號(hào)2)q
兩邊平方得
p^2=2q^2(“^”是幾次方的意思）
由2q^2是偶數(shù),可得p^2是偶數(shù).而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).
因此可設(shè)p=2s,代入上式,得：
4s^2=2q^2,
即
q^2=2s^2.
所以q也是偶數(shù).這樣,p,q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設(shè)p,q互質(zhì)矛盾.
這個(gè)矛盾說(shuō)明,根號(hào)2不能寫成分?jǐn)?shù)的形式,即根號(hào)2不是有理數(shù).