"導(dǎo)數(shù) dy / dx"和"微分 dy" 的記號(hào)

"導(dǎo)數(shù) dy / dx"和"微分 dy" 的記號(hào)
我有一點(diǎn)沒明白：
我們是把"導(dǎo)數(shù) dy / dx"和"微分 dy" 都作為一個(gè)整體記號(hào)對(duì)待啊；
但為啥在很多場(chǎng)合下,可以把"導(dǎo)數(shù) dy / dx"拆開成dy除以dx來(lái)使用和理解呢?
如：微商,我們認(rèn)為是函數(shù)的微分除以自變量的微分,dy除以dx；
再如：在求微分方程時(shí),我們可以等式兩便同乘dy或dx；...這不是都把"導(dǎo)數(shù) dy / dx"看作是兩部分的除法在用嘛,沒有看作一個(gè)整體啊~
這點(diǎn)我沒想明白~能詳講下嗎?感謝~
1幻の上帝，能說(shuō)得再詳細(xì)點(diǎn)嗎？感謝啊~
2為啥對(duì)于多元函數(shù)就不一樣了。偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)不能隨便拆著用?

數(shù)學(xué)人氣：153 ℃時(shí)間：2019-07-25 01:32:45

優(yōu)質(zhì)解答

d/dx可以看作一個(gè)微分算子,表示對(duì)x求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.
一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義：
(d/dx)y=f'(x)=lim(Δx→0)((f(x+Δx)-f(x))/Δx).
一元函數(shù)微分定義：
若Δy=f(x+Δx)-f(x)=AΔx+o(Δx),其中A是和Δx無(wú)關(guān)的常量,則dy=AΔx為y的微分.
顯然dx=1Δx+o(Δx)=Δx.
于是dy=Adx,A=(Δy-o(Δx))/Δx=lim(Δx→0)Δy/Δx=f'(x).
所以有dy=f'(x)dx,也就是說(shuō)f'(x)=(d/dx)y=dy/dx
但對(duì)于多元函數(shù)就不一樣了.偏導(dǎo)數(shù)是一個(gè)整體記號(hào),不能拆分.偏增量不用偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)而用Δ表示,這應(yīng)該是由于習(xí)慣問(wèn)題.

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