由于橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1
則:橢圓的焦點在X軸上
由于:短軸一個端點到右焦點的距離為√3
則由圖像可知:
b^2+c^2=3=a^2
則：a=√3
又：離心率為√6/3=c/a
則：c=√2,則：b=1
則橢圓C：x^2/3+y^2=1
設直線l：y=kx+b
由于：坐標原點O到直線l的距離d為√3/2
則由點到直線距離公式,得：
d=√3/2=|b|/√[k^2+1]
則：b^2=(3/4)(k^2+1)
由于：直線l與橢圓C交與A,B兩點
則設A(x1,y1)B(x2,y2)
則由直線和橢圓相交弦長公式,得：
|AB|
=√[k^2+1]*|x1-x2|
=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
由于：
橢圓C:x^2/3+y^2=1
直線l:y=kx+b
則聯(lián)立可得：
x^2/3+(kx+b)^2=1
[(1+3k^2)/3]x^2+2kbx+b^2-1=0
由于：A,B為其交點,
則x1,x2為方程的兩根
則由韋達定理,得：
x1+x2=-6kb/(1+3k^2)
x1x2=(9k^2-3)/(12k^2+4)
則：
|AB|=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√[k^2+1]*√[36k^2b^2/(3k^2+1)^2-(36k^2-12)/(12k^2+4)]
=√[k^2+1]*√{[27k^2(k^2+1)-3(3k^2-1)(3k^2+1)]/(3k^2+1)^2}
=√{[k^2+1]*[27k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[27k^4+30k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[3(3k^2+1)^2+4(3k^2+1)-4]/[(3k^2+1)^2]}
=√{3+4/(3k^2+1)-4/[(3k^2+1)^2]}
設：t=1/(3k^2+1) (t屬于(0,1])
則：
|AB|=√[3+4t-4t^2]
=√[-4(t-1/2)^2+4]
則當t=1/2時,|AB|取最大值=2
此時k=±√3/3
則：
△AOB面積的最大值
=(1/2)|AB|最大值*d
=(1/2)*2*(√3/2)
=√3/2