用數(shù)形結(jié)合的方法來做.
(x-2)²+(y-2)²=1可以看做是以(2,2)為圓心,1為半徑的一個(gè)圓.
y/x可以看做是這個(gè)圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率.
要求y/x的最值,就是求斜率的最值,應(yīng)當(dāng)在相切的時(shí)候取得.
設(shè)直線方程為y=kx,聯(lián)立
(x-2)²+(kx-2)²=1
(1+k²)x²-4(1+k)x+7=0
相切時(shí),只有一個(gè)公共點(diǎn),故只有一個(gè)根,判別式等于0
即△=16(1+k)²-28(1+k²)
=-12k²+32k-12=0
3k²-8k+3=0
k=(8±√28)/6=(4±√7)/3
所以y/x=k的最大值是(4+√7)/3 ,最小值是(4-√7)/3
設(shè)y+x=a最值同樣是在直線y+x=a與圓相切時(shí)取得.
y=a-x
(x-2)²+(a-x-2)²=1
2x²-2ax+4+(a-2)²=1
2x²-2ax+a²-4a+7=0
△=4a²-8(a²-4a+7)
=-4a²+32a-56
=-4(a²-8a+14)=0
a=(8±√8)/2=4±√2
故最大值為y+x=4+√2,最小值為4-√2