芝諾（前490?—前430?）是（南意大利的）愛(ài)利亞學(xué)派創(chuàng)始
人巴門(mén)尼德的學(xué)生,他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說(shuō)：“多”和“變”是虛
幻的,不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的.運(yùn)動(dòng)只是
假象.于是他設(shè)計(jì)了四個(gè)例證,人稱“芝諾悖論”.這些悖論主要是
從哲學(xué)角度提出的.我們只從數(shù)學(xué)角度看其中的一個(gè)悖論.
1. 四個(gè)芝諾悖論之一：阿基里斯追不上烏龜（畫(huà)圖說(shuō)明）
2. 癥結(jié)：無(wú)限段長(zhǎng)度的和可能是有限的；無(wú)限段時(shí)間的和可能
是有限的.
例如無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和就是一個(gè)有限數(shù).
3. 貢獻(xiàn)（意義）：
1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展
芝諾悖論的矛頭雖然不是針對(duì)數(shù)學(xué),對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)也沒(méi)有構(gòu)成威
脅,但對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展卻產(chǎn)生了重要的影響.因?yàn)閿?shù)學(xué)是以嚴(yán)格的求證
思想為基礎(chǔ)的,而芝諾悖論恰恰促進(jìn)了精確的、嚴(yán)格的邏輯思維的發(fā)展.
2）最早的“反證法”及“無(wú)限”的思想
芝諾論證問(wèn)題使用的方法就是今天數(shù)學(xué)中的反證法.“設(shè)甲若能
追上乙,則首先應(yīng)到達(dá)乙目前所在的位置”.這大概是有文字記載的
最早的反證法.
與前面所講的方法不同,反證法是屬于“間接證明法”一類,是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法,即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論,從而導(dǎo)出矛盾推理而得.法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過(guò)概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論,就會(huì)導(dǎo)致矛盾”.具體地講,反證法就是從否定命題的結(jié)論入手,并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件,進(jìn)行正確的邏輯推理,使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛,矛盾的原因是假設(shè)不成立,所以肯定了命題的結(jié)論,從而使命題獲得了證明.
　　反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思維過(guò)程中,兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真,至少有一個(gè)是假的,這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假,簡(jiǎn)單地說(shuō)“A或者非A”,這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過(guò)程中,得到矛盾的判斷,根據(jù)“矛盾律”,這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真,必有一假,而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的,所以“否定的結(jié)論”必為假.再根據(jù)“排中律”,結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假,必有一真,于是我們得到原結(jié)論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的,反證法是可信的.
　　反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定→推理→否定”.即從否定結(jié)論開(kāi)始,經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾,達(dá)到新的否定,可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”.應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立.實(shí)施的具體步驟是：
　　第一步,反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；
　　第二步,歸謬：將反設(shè)作為條件,并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；
　　第三步,結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立,從而肯定原命題成立.
　　在應(yīng)用反證法證題時(shí),一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理,否則就不是反證法.用反證法證題時(shí),如果欲證明的命題的方面情況只有一種,那么只要將這種情況駁倒了就可以,這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種,那么必須將所有的反面情況一一駁倒,才能推斷原結(jié)論成立,這種證法又叫“窮舉法”.
　　在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法,牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?一般來(lái)講,反證法常用來(lái)證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無(wú)限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯.具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證明難以下手的命題,改變其思維方向,從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考,問(wèn)題可能解決得十分干脆.