（1）證明：連結(jié)OB．
∵AB=BC，O為AC中點(diǎn)，
∴∠ABO=∠CBO，BO⊥AC．                   
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠A=∠C=45°，
∴∠ABO=∠C=∠CBO，
∴0B=OC．
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°，
∴∠MOB=∠CON．  
在△BOM和Rt△CON中

∠ABO＝∠C 0B＝OC ∠MOB＝∠CON

，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴BM=CN；
（2）OP=DE，OP⊥DE．理由如下：
①如圖2，若點(diǎn)P在線段AO上．
∵BO⊥AC，
∴∠BOC=90°．
∵OB∥DE，
∴∠POB=∠PED=90°，
∴OP⊥DE，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠C=45°，
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC，∠DPC=∠PDB-∠C，
∴∠PBO=∠DPC，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∠POB＝∠PED ∠PBO＝∠DPC PB＝PD

，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE；
②若點(diǎn)P在線段CO上．
同理可證OP⊥DE，OP=DE，
∵OB∥DE，
∴∠OBC=∠BDE=45°．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°，
∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°，
∴∠APB=∠PDE．
在△BPO和△PDE中

∠APB＝∠PDE  ∠BOP＝∠PED PB＝PD

，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE．
綜上所述：OP=DE，OP⊥DE．