三角形ABC中,A,B為銳角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判斷三角形ABC的形狀
因為 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)
=sin A cos B +sin B cos A,
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.(*)
又因為 A,B 為銳角,
所以 sin A>0,sin B>0.
(1) 若 A+B =π/2,
則 cos B =cos (π/2 -A) = sin A,
cos A =cos (π/2 -B) = sin B.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.
滿足條件(*).
此時,C =π -(A+B) =π/2.
即 ΔABC 為直角三角形.
(2) 若 A+B >π/2,
則 A >π/2 -B,
B >π/2 -A.
又因為 A,B,π/2-A,π/2-B是銳角,
所以 sin A >sin (π/2 -B) =cos B,
sin B >sin (π/2 -A) =cos A.
所以 sin A -cos B >0,
sin B -cos A >0.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) >0.
不滿足條件(*).
所以 A+B >π/2 不成立.
(3) 若 A+B