三角形相關(guān)定理
重心定理
三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍．
上述交點(diǎn)叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．
這點(diǎn)叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三條高交于一點(diǎn)．
這點(diǎn)叫做三角形的垂心.
內(nèi)心定理
三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．
這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.
旁心定理
三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)．
這點(diǎn)叫做三角形的旁心．三角形有三個(gè)旁心．
三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心稱為三角形的五心．
它們都是三角形的重要相關(guān)點(diǎn)．
中位線定理
三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
三邊關(guān)系定理
三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊．
三角形面積計(jì)算公式
S(面積)=a(邊長(zhǎng))h(高)/2---三角形面積等于一邊與這邊上的高的積的一半
[編輯本段]勾股定理
在Rt三角形ABC中,A≤90度,則
AB·AB+AC·AC=BC·BC
A〉90度,則
AB·AB+AC·AC>BC·BC
[編輯本段]梅涅勞斯定理
梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的.它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn),那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.
證明：
過(guò)點(diǎn)A作AG‖BC交DF的延長(zhǎng)線于G,
則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG.
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上,且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,則F、D、E三點(diǎn)共線.利用這個(gè)逆定理,可以判斷三點(diǎn)共線.
另外,有很多人會(huì)覺(jué)得書寫這個(gè)公式十分煩瑣,不看書根本記不住,下面從別人轉(zhuǎn)來(lái)一些方法幫助書寫
為了說(shuō)明問(wèn)題,并給大家一個(gè)深刻印象,我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn),各景點(diǎn)之間有公路相連.我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空,然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落.我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩,最后回到出發(fā)點(diǎn),直升機(jī)就停在那里等待我們回去.
我們不必考慮怎樣走路程最短,只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn).只“路過(guò)”而不停留觀賞的景點(diǎn),不能算是“游歷”.
例如直升機(jī)降落在A點(diǎn),我們從A點(diǎn)出發(fā),“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后,最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A.
另外還有一個(gè)要求,就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn),必須連續(xù)游過(guò)之后,才能變更到其它直線上的景點(diǎn).
從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種,下面逐一說(shuō)明：
方案 ① ——從A經(jīng)過(guò)B（不停留）到F（停留）,再返回B（停留）,再到D（停留）,之后經(jīng)過(guò)B（不停留）到C（停留）,再到E（停留）,最后從E經(jīng)過(guò)C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A.
按照這個(gè)方案,可以寫出關(guān)系式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1.
現(xiàn)在,您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧.
從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有：
方案 ② ——可以簡(jiǎn)記為：A→B→F→D→E→C→A,由此可寫出以下公式：
（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1.從A出發(fā)還可以向“C”方向走,于是有：
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A,由此可寫出公式：
（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1. 從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案：
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A,由此寫出公式：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1.
我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落,因此就有了圖中的另外一些公式.
值得注意的是,有些公式中包含了四項(xiàng)因式,而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng).當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí),就會(huì)有四項(xiàng)因式.而在C點(diǎn)和F點(diǎn),既會(huì)有三項(xiàng)的公式,也會(huì)有四項(xiàng)的公式.公式為四項(xiàng)時(shí),有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次.
不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的,只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看.
現(xiàn)在是否可以說(shuō),我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢.那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式,不會(huì)再寫錯(cuò)或是記不住吧.
[編輯本段]塞瓦定理
塞瓦定理
設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),
AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F,則 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
證法簡(jiǎn)介
（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：
∵△ADC被直線BOE所截,
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直線COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):
設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,
根據(jù)塞瓦定理逆定理,因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1,所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)