a,b,c∈R+,a/(b+3c）+b/（8c+4a）+9c/(3a+2b)的最小值

數(shù)學(xué)人氣：907 ℃時(shí)間：2020-04-22 08:52:37

優(yōu)質(zhì)解答

a、b、c、d屬于R+
求a/（b+3c）+b/（8c+4a）+9c/（3a+2b）的最小值
設(shè)b+3c=x,8c+4a=y,3a+2b=z,則
c=(8x-4z+3y)/48,b=(8x+4z-3y)/16,a=(4z-8x+3y)/24
所以原式變?yōu)?4z-8x+3y)/24x+(8x+4z-3y)/16y+9(8x-4z+3y)/48z即
z/6x+y/8x+x/2y+z/4y+3x/2z+9y/16z-61/48,利用平均值不等式
原式≥2[√(yz/48x^2)+√(xz/8y^2)+√(27xy/32z^2)]-61/48 不等式當(dāng)且僅當(dāng)x:y:z=3:8:6時(shí)成立
故原式≥2*(1/3+3/16+3/4)-61/48=47/48