可以用向量證,也可以用如下方法
設(shè)α,β是銳角,作直徑AB=1的圓O,C,D是位于AB兩側(cè)的圓周上的兩點(diǎn),連結(jié)CD,由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD＋AC•BD． (*)
(1)設(shè)∠CAB=α,∠DAB=β(如圖1),則AC=cosα,BC=sinαAD=cosβ,BD=sinβ,CD=sin(α＋β),代入(*)得
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ,(1)(2)設(shè)∠CAB=α,∠DBA=β,α≥β,AC=cosα,BC=sinα,AD=sinβ,BD=cosβ,CD=cos(α－β),
代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ,(2)
由誘導(dǎo)公式易見(jiàn)(1),(2)對(duì)任意角α,β都成立,若用－β替換(1),(2)中的β,則可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ,(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)