設(shè)∑是由旋轉(zhuǎn)拋物面z=x^2+y^2,平面z=0及平面z=1所圍成的區(qū)域,求三重積分∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz.
我用三種不同方法解.積分結(jié)果不一樣,幫我指正下.
由題意可知：x^2+y^2 < z < 1
解法1：
∫∫dxdy∫[1,x^2+y^2](x^2+y^2+z)dz
=∫∫(x^2+y^2+1/2-3/2(x^2+y^2)^2)dxdy
然后用極坐標(biāo)計算二重積分 結(jié)果是π/2
解法2：用z=z(常數(shù))去截取積分區(qū)域 0 < z < 1
Dz=∫∫dxdy 是在OXY投影面積=πz
將x^2+y^2=z代入積分式
原式=∫∫∫2zdxdydz
=2∫zdz ∫∫dxdy
=2π∫[0,1]z^2dz =2π/3
解法3：
將x^2+y^2=z代入積分式
原式=2∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz
=2∫∫dxdy ∫[1,x^2+y^2](x^2+y^2)dz
=2∫∫(x^2+y^2-(x^2+y^2)^2)dxdy
在用極坐標(biāo)求二重積分
結(jié)果=π/3
上那個解法是對的?
錯的解法為什么錯誤?幫我指正下.