h→0,lim[(x+h)^n-x^n]/h=lim(x+h-h)[(x+h)^(n-1)+x*(x+h)^(n-2)+x^2*(x+h)^(n-3)+…+x^(n-1)]/h=nx^(n-1)
上面用的是a^n-b^n=(a-b)*∑[a^i*b^(n-1-i)],i從0到n-1,注意一共有n項
或者
h→0,lim[(x+h)^n-x^n]/h=lim[x^n+nhx^(n-1)+n(n-1)/2*h^2*x^(n-2)+…+h^n-x^n]/h=nx^(n-1)
這種方法采用的是(x+h)^n二項式展開,除了第一項與后面的x^n相減沒了,第二項只有一個h 與分母約分外,其他n-2這些項都是h的高次項,當h→0時,它們都是0
這兩種方法都可以用,就個人而言我更喜歡第二種,簡潔明了,但是第一種在有些運算的時候會用到