一道高數(shù)題求高人幫忙：已知級(jí)數(shù)∑(-1)^(n-1)*an=2,∑a2n-1=5,證明級(jí)數(shù)∑an收斂,并求此級(jí)數(shù)的和.
答案是這樣給的：
因?yàn)椤?-1)^(n-1)*an=2,
所以∑(a2n-1-a2n)=2,且an→0
又因?yàn)椤芶2n-1=5,
所以∑(a2n-1+a2n)=∑[2a2n-1-(a2n-1-a2n)]=8
設(shè)∑an的部分和為Sn,則
S2n=a1+a2+…+a2n-1+a2n
=(a1+a2)+...+(a2n-1+a2n)
是∑(a2n-1+a2n)的部分和
所以當(dāng)n→+∞時(shí),S2n=8
又因?yàn)镾2n+1=S2n+a2n+1
所以當(dāng)n→+∞時(shí),S2n+1=8
所以當(dāng)n→+∞時(shí),Sn=8
所以∑an收斂且其和為8
但是,我看不懂這這道題答案的兩個(gè)地方：
第一,感覺(jué)S2n=8和前面的一個(gè)定理有矛盾.
因?yàn)槿艏?jí)數(shù)∑a2n-1收斂,則當(dāng)n→∞時(shí),a2n=0
那S2n又等于8是為何?
第二,因?yàn)椤芶n可以看做是級(jí)數(shù)∑(a2n-1+a2n)去掉括號(hào)后的級(jí)數(shù),而級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)5上說(shuō),當(dāng)加括號(hào)后所得的新級(jí)數(shù)收斂時(shí),則原級(jí)數(shù)未必收斂.
那為何答案在證出當(dāng)n→+∞時(shí),S2n=8=S2n+1時(shí),為何后面直接得出了當(dāng)n→+∞時(shí),Sn=8的結(jié)論?