（1）證明f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
令f′（x）=0，得ax²+2bx-a=0（*）
∵△=4b²+4a²>0，
∴方程（*）有兩個不相等的實根，記為x₁，x₂（x₁<x₂），
則f′（x）=

-a(x-x1)(x-x2)

(x2+1)2

，
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

可見，f（x）的極大值點和極小值點各有一個．
（2） 由（1）得

f(x1)= ax1+b x12+1 =-1 f(x2)= ax2+b x22+1 =1

即

ax1+b=-x12-1 ax2+b=x22+1

兩個方程左右兩邊相加，得a（x₁+x₂）+2b=x₂²-x₁²．
∵x₁+x₂=-

2b

a

，∴x₂²-x₁²=0，
即（x₂+x₁）（x₂-x₁）=0，
又x₁<x₂，
∴x₁+x₂=0，從而b=0，
∴a（x²-1）=0，得x₁=-1，x₂=1，代入得a=2．