1.因?yàn)樵谌切蜛BC中,cosC=2√7/7,cos∠DBC=5√7/14
則∠C和∠DBC都是銳角
所以由三角函數(shù)基本關(guān)系式得：
sinC=√21/7,sin∠DBC=5√7/14＝√21/14
在三角形BCD中,∠BDC=180°-∠C-∠DBC
則cos∠BDC=cos(180°∠C-∠DBC)
=-cos(∠C+∠DBC)
=－cos∠C*cos∠DBC+sin∠Csin∠DBC
=-(2√7/7)*(5√7/14)+(√21/7)*(√21/14)
=-5/7 +3/14
=-1/2
所以得∠BDC=120°
2.因?yàn)閨AD|=2|DC|,所以|AC|=3/2 *|AD|,|DC|=|AD|/2
因?yàn)閨AB|=2,cosC=2√7/7,cos∠DBC=5√7/14
所以在三角形ABC中,由余弦定理得：
|AB|²=|BC|²+|AC|²-2|BC|*|AC|*cosC
則4=|BC|²+9/4 *|AD|²-3|BC|*|AD|*(2√7/7) (*)
在三角形BCD中,由正弦定理得：
|CD|/sin∠DBC=|BC|/sin∠BDC
由第1小題知sin∠DBC=√21/14,∠BDC=120°,且|DC|=|AD|/2
所以(|AD|/2)/(√21/14)=|BC|/sin120°
化簡(jiǎn)整理可得：|BC|=(√7/2)*|AD|
將上式代入(*)式得：
4=(7/4)*|AD|²+(9/4)*|AD|²-3(√7/2)*|AD|*|AD|*(2√7/7)
化簡(jiǎn)得|AD|²=4
所以|AD|=2,|BC|=(√7/2)*|AD|=√7
又向量AD與向量CB的夾角就是內(nèi)角∠C的補(bǔ)角
所以數(shù)量積向量AD點(diǎn)乘CB
=|AD|*|CB|*cos(180°-∠C)
= - |AD|*|CB|*cos∠C
= - 2*√7*2√7/7
=-4