證1：
取函數f(x)=x/(1+x)=1-1/(1+x),顯然f(x)在(-1,+∞)上是增函數.
當x＞0,y＞0時,有f(x)+f(y)＞f(x+y).證明如下：
f(x)+f(y)=(x+y+2xy)/(1+x+y+xy)
＞(x+y+xy)/(1+x+y+xy)
=f(x+y+xy)
＞f(x+y).
∴f(a)+f(b)>f(a+b)>f(c).
即原不等式成立.
證3：注意xy≤[(x+y)/2]^2＝1/4.
|x^2+2xy-y)|
=|x(x+2y)-y|
=|x(1+y)-y|
=|(x-y)+xy|
≤|x-y|+|xy|
≤|x|+|y|+xy
≤1+(1/4)
≤√2.