上半球面z=√[4-x^2-y^2]的投影面的圓心為(0,0),半徑為2
柱面x^2+y^2=2x,即(x-1)^2+y^2=1的橫截面的圓心為(1,0),半徑為1
曲面方程z=√[4-x^2-y^2]
曲面面積A1=∫∫dA=∫∫√(1+P^2+Q^2)dxdy
區(qū)域D1：0≤x≤2,0≤y≤1
則所求面積為A1的2倍,即A=2A1=2∫∫√(1+P^2+Q^2)dxdy
P=∂z/∂x=-x/√[4-x^2-y^2],Q=∂z/∂y=-y/√[4-x^2-y^2]
1+P^2+Q^2=1+(x^2+y^2)/(4-x^2-y^2)=4/(4-x^2-y^2)
dA=√(1+P^2+Q^2)dxdy=2/√[4-x^2-y^2]*dxdy
A=2∫∫dA=∫∫2/√[4-x^2-y^2]*dxdy (0≤x≤2,0≤y≤1)
=2∫∫2/√[4-r^2]*rdrdθ (極坐標(biāo)化：0≤r≤2cosθ,0≤θ≤π/2)
=2∫dθ∫2/√[4-r^2]*rdr
=2∫4(1-sinθ)dθ
=8(θ+cosθ)
=8(π/2-1)
=4(π-2)