當人類面對這深邃的宇宙開始思考一些問題的時候,他們就已經(jīng)開始研究運動了,而運動的存在性問題是其中最為重要、也是最令人困惑的第一個問題.\x0d　　表面上看來,運動的存在性是顯然的,然而芝諾卻最早以簡單的論證“證明”了運動不可能存在,他也由于這一悖論式的證明而為后人所永遠銘記.芝諾是古希臘時期愛利亞學派的主要成員,這個學派的基本思想是否認現(xiàn)實世界中的任何運動變化,認為它們只是真實存在的表面現(xiàn)象.芝諾為了證明他們的觀點,第一個設想和論證了物體運動中存在的令人不安的困難.\x0d1.1 你追不上烏龜\x0d　　芝諾的論證是這樣的：你若想追上烏龜,你必須首先到達烏龜開始跑的位置,但當你到達烏龜開始跑的位置時,烏龜在這段時間里已經(jīng)跑到前面去了,當你再想去追烏龜時,你面臨同樣的問題,即你仍必須首先要跑到烏龜此刻的位置,而等你跑到了烏龜又向前移動了.好,雖然你比烏龜跑得快,但你也只能按上述過程逐漸逼近烏龜,這樣的過程將無限次地出現(xiàn),而在每一階段烏龜總在你前頭.由于有限的你無法完成這無限個階段,于是你永遠也追不上烏龜.\x0d圖1 你追不上烏龜\x0d　　“但是,我絕對可以追上烏龜!”你可能忍不住要爭辯道.請別急,芝諾將進一步論證你根本就無法開始運動,更不用說追上烏龜了.你看,如果你想到達烏龜開始跑的位置,你就必須首先到達這段距離的中點,而你若想到達這個中點,你又必須首先到達這一半距離的中點,如此等等.由于這一二分過程可以無限地進行下去,而你無法完成無限個過程,于是你實際上都無法離開起點.\x0d　　“但是,……”,你也許已陷入了沉思之中.是的,盡管芝諾的論證簡單易懂,但是要找出其論證中的問題卻并不容易.實際上,自從芝諾悖論提出以來,人們一直試圖指出其中的錯誤所在,然而直到今天,仍然沒有一個完全滿意的解答.\x0d　　[附] 芝諾悖論1\x0d　　一般認為,芝諾悖論由四個論證組成,它們是二分法、阿基里斯、飛矢不動和運動場.\x0d　　芝諾首先假定時間和空間是連續(xù)的2,即假定運動是連續(xù)的.為了證明這種連續(xù)運動是不可能的,芝諾考察了兩種情況,它們是孤立物體的連續(xù)運動情況和兩個物體的相對連續(xù)運動情況.\x0d圖2 二分法　　對于孤立物體的連續(xù)運動情況,他提出了一種“二分法”證明.芝諾認為,任何一個物體要想從A點運動到B點,必須首先到達AB的中點C,而要到達C點,他又必須首先到達AC的中點D,同樣,要到達D點,他又必須首先到達AD的中點,等等.由于時間和空間是連續(xù)的,這一二分過程總可以無限地進行下去,于是該物體實際上都無法離開A點,因此孤立物體的連續(xù)運動是不可能的.\x0d圖3 阿基里斯\x0d　　對于兩個物體的相對連續(xù)運動情況,芝諾提出了一個稱為“阿基里斯”的證明.他說,阿基里斯若想追上烏龜,他必須首先到達烏龜開始跑的位置,但當他到達烏龜開始跑的位置時,烏龜在這段時間里已經(jīng)跑到前面去了,當阿基里斯再想去追烏龜時,他面臨同樣的問題,即他仍必須首先要跑到烏龜此刻的位置,而等他跑到了烏龜又向前移動了.雖然阿基里斯比烏龜跑得快,但他也只能按上述過程逐漸逼近烏龜,這樣的過程可以無限次地出現(xiàn),在每一階段烏龜總在他前頭.由于阿基里斯無法完成這無限個階段,于是他永遠也追不上烏龜,從而兩個物體的相對連續(xù)運動也是不可能的.\x0d　　其次,芝諾假定時間和空間是分立的,即假定運動是間斷的.為了證明這種間斷運動也是不可能的,芝諾同樣考察了兩種情況,即孤立物體的間斷運動情況和兩個物體的相對間斷運動情況.\x0d圖4 飛矢不動\x0d　　對于孤立物體的間斷運動情況,他提出了“飛矢不動”論證3.芝諾說,由于運動是位置的變動,而飛矢在任何一個時間單元（或時刻）都呆在一個位置上,即在任何時間單元（或時刻）它的位置都沒有變化,于是任何一個時間單元（或時刻）的飛矢是不動的,因此飛矢是不動的.\x0d圖5 運動場　　對于兩個物體的相對間斷運動情況,芝諾提出了“運動場”論證.他假設有A、B、C三列物體,物體B、C相對于A的運動方向相反,并且每一時間單元物體B、C相對于A都運動一個空間單元.于是,在一個時間單元過后物體B、C之間相對移動了兩個空間單元,從而物體B相對于C移動一個空間單元需要半個時間單元,而物體B相對于A移動一個空間單元卻需要一個時間單元,于是一個時間單元將等于半個時間單元.這一結(jié)論明顯是不成立的,因此兩個物體的相對間斷運動也是不可能的.\x0d　　是的,芝諾的結(jié)論顯然是不對的,每個清醒的人都知道.然而,他的論證卻并不一定就是錯誤的,為什么呢?因為他是在一定假設的前提下證明你追不上烏龜?shù)?而這些假設不一定都正確.芝諾的假設包括：時間和空間是連續(xù)的,運動也是連續(xù)的.盡管這些假設看起來似乎是顯然的,但是現(xiàn)代科學卻已經(jīng)暗示了它們很可能并不是正確的.因此,如果芝諾的論證沒有問題,那么2000多年前的他就已經(jīng)證明了時間、空間和運動不可能都是連續(xù)的.這是一個驚人的結(jié)論,它完全違背我們的常識,但芝諾成功了嗎?讓我們再來看一看他的具體論證.\x0d　　可以看出,芝諾論證的關鍵在于他認為物體無法經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間而在連續(xù)時空中完成運動,但是他的根據(jù)呢?仔細檢查后你會發(fā)現(xiàn),沒有!難道這是一條十分明顯的、不需要進一步說明的公理嗎?或許初看起來我們也會認為物體無法經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間,但喜歡刨根問底的人還是想問問芝諾這是為什么.當然,芝諾是無法回答了,那就讓我們來分析一下這個看法是否正確吧.\x0d　　首先,我們必須弄清“完成”的含義.所謂“完成”是指過程的發(fā)生只需要有限的時間,它本質(zhì)上是以時間概念為基礎的.于是,問題成為：物體是否能夠在有限時間內(nèi)經(jīng)過空間中的無窮多個點或區(qū)間?根據(jù)時間和空間的連續(xù)性假設,有限的空間含有無窮多個點或區(qū)間,而有限的時間同樣含有無窮多個時刻或時間區(qū)間,并且它們可以形成一個一一對應關系.因此,原則上物體可以利用有限時間內(nèi)的無窮多個時刻或時間區(qū)間來通過有限空間中的無窮多個點或區(qū)間,從而物體便可以自然地在有限時間內(nèi)經(jīng)過空間中的無窮多個點或區(qū)間了.于是,物體是可以（在連續(xù)時空中）經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間而完成運動的.看來,芝諾所依據(jù)的似乎明顯正確的看法其實是錯誤的,他在強調(diào)空間連續(xù)性的同時卻忽略了時間的連續(xù)性.\x0d圖6 意識無法追蹤運動\x0d　　然而,為什么我們總有一種感覺,認為物體無法經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間呢?這個問題很重要,因為芝諾也許正是利用了這種感覺才讓人們?yōu)樗恼撟C所迷惑.為此,讓我們回憶一下我們通常是如何來理解無窮的完成過程的.你會注意到,我們在理解無窮的完成時,總是不知不覺地要從心理上去追蹤它的完成,如追蹤物體經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間.然而,由于我們追蹤物體經(jīng)過任何一個點或區(qū)間都需要有限的時間,從而我們便無法追蹤物體經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間,因為我們的追蹤將需要無窮長的時間!但是,這并不妨礙物體自己經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間,畢竟,我們沒有理由認為無法通過意識追蹤的過程實際上也無法完成.\x0d　　找到了困惑的根源,你一定有一種如釋負重的感覺吧,看來理解運動問題其實并不難.是的,有時你離答案僅一步之遙,而跨過去你的思想就會海闊天空,關鍵在于你是否愿意多花一點時間來思考了.理解總是令人愉悅的!而理解之前的困惑同樣是一種妙不可言的經(jīng)歷,它會幫助你真正認識自己,并讓你成為一個有理性的、智慧的人.\x0d　　現(xiàn)在,你一定確信并理解自己可以追上烏龜了,衷心地祝賀你.\x0d1.3 運動的世界