反導(dǎo)數(shù),即不定積分的求法,是求導(dǎo)數(shù)的逆過程
當你學了求導(dǎo)數(shù)后,就會求積分了
不定積分的主要求法：
第一換元法：
包括顯式代入法和隱式代入法
顯式代入法,即令t = ... g(x),dt = ... g(x) dx這種的形式,主要是化簡積分式子
隱式代入法,即湊微分法,利用微分的原理進行隱性代入
例如∫ √(1 + x) dx = ∫ √(1 + x) d(1 + x),過程中可看到dx變?yōu)閐(1 + x)
這是微分法,d(1 + x) = (1)'dx + (x)'dx = 0 + (1)dx = dx
第二換元法：主要是用三角函數(shù)代入法以達到消除根號的效果
對于√(a² - x²)、1/√(a² - x²)、√(a² - x²)/x等等,令x = a*sinθ 或 x = a*cosθ
對于√(a² + x²)、1/√(a² + x²)、√(a² + x²)/x等等,令x = a*tanθ 或 x = a*cotθ
對于√(x² - a²)、1/√(x² - a²)、√(x² - a²)/x等等,令x = a*secθ 或 x = a*cscθ
如果被積函數(shù)中有復(fù)雜的三角函數(shù),如sinθ/(sin²θ + cos³θ),可考慮用萬能代換u = tan(x/2)
但要注意第三個代入法,即令x = a*secθ 或 x = a*cscθ,他們的反函數(shù)都是斷續(xù)的,需分區(qū)間討論
分部積分法：這是透過導(dǎo)數(shù)的乘法法則而來的
即∫ vdu = uv - ∫ udv的形式,目地是能對復(fù)雜部分的被積函數(shù)求導(dǎo)以進行化簡
通常第一步是湊微分,例如∫ xcosx dx = ∫ x dsinx = xsinx - ∫ sinx dx
但有些則直接用,例如∫ lnx dx = xlnx - ∫ x d(lnx) = xlnx - ∫ dx
根據(jù)規(guī)則反對冪指三來做,即
反三角函數(shù)：arcsin(x),arctan√[x - √(1 - x²)],arcsec(x/2)等
對數(shù)函數(shù)：lnx,ln[x + √(1 + x²)],log_7(8x)等
冪函數(shù)：x³,x^(8a),x^(17)等
指數(shù)函數(shù)：e^(6x),a^(5x)等
三角函數(shù)：sinx,tan(8x),sec(7x)
反三角函數(shù)最復(fù)雜,所以做v,而三角函數(shù)最簡單,所以做u
有些積分會出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象,只需移位即可,例如
∫ e^x*cosx dx = ∫ e^x dsinx = e^x*sinx - ∫ sinx de^x = e^x*sinx - ∫ e^x*sinx dx
= e^x*sinx - ∫ e^x d(-cosx) = e^x*sinx + e^x*cosx - ∫ cosx de^x
= e^x*sinx + e^x*cosx - ∫ e^x*cosx dx,可見∫ e^x*cosx dx與原先的積分重復(fù)了,所以移到等號左邊
2∫ e^x*cosx dx = (sinx + cosx)*e^x,移到左邊相加,然后兩邊都除以常數(shù),使左邊變回原式樣子
∫ e^x*cosx dx = (1/2)(sinx + cosx)*e^x + C,C為任意常數(shù)
有理積分法：即利用部分分式和待定系數(shù)法原理,將一個大分式拆解為數(shù)個小分式進行化簡
例如求∫ dx/[(x + 1)(x² + 1)],這樣的形式很難求,于是采用有理積分法
設(shè)1/[(x + 1)(x² + 1)] = A/(x + 1) + (Bx + C)/(x² + 1),分子比分母少一次指數(shù)
右邊通分得1/[(x + 1)(x² + 1)] = [A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)]/[(x + 1)(x² + 1)]
分母相同,只看分子：1 ≡ A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1),這是個恒等式,無論x代入什么數(shù)字,兩邊都相等
解法一：代入x = -1,1 = A(2) + 0,得出A = 1/2
代入x = 0,1 = A + C = 1/2 + C,得出C = 1/2
代入x = 1,1 = (1/2)(2) + (B + 1/2)(2) = 1 + 2B + 1,得出B = -1/2
即1/[(x + 1)(x² + 1)] = 1/[2(x + 1)] + (- x + 1)/[2(x² + 1)]
所以∫ dx/[(x + 1)(x² + 1)] = (1/2)∫ dx/(x + 1) + (1/2)∫ (- x + 1)/(x² + 1) dx
解法二：1 ≡ A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1),拆開括號
1 = Ax² + A + Bx² + Cx + Bx + C,再將同類項組起
0x² + 0x + 1 = (A + B)x² + (B + C)x + (A + C),再比較兩邊的系數(shù),得
A + B = 0
B + C = 0
A + C = 1
解方程,得：A = 1/2,B = -1/2,C = 1/2
所以1/[(x + 1)(x² + 1)] = 1/[2(x + 1)] + (- x + 1)/[2(x² + 1)]
要用的公式其實還有許多,有數(shù)百條,但上面的方法已經(jīng)足夠解一般的題目了.
求完不定積分,記住別忘了常數(shù)C,這個代表任意常數(shù),要在題目給定足夠的條件才能求得
例如給了一個坐標,再代入結(jié)果,就找到常數(shù)C的值了.