三邊高的交點（垂心） 將高分為兩段 長度比例為2：1 （垂心到頂點的距離為2）
（1）設(shè)D是BC上固定點,求此時的周長最短的內(nèi)接三角形.
作D關(guān)于AB、AC的對稱點D1、D2,連D1D2交AB、AC于E、F,則△DEF為所求.實際上,對于△ABC的任一內(nèi)接△DE′F′,有
DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2
≥D1D2=D1E+EF+FD2
=DE＋EF＋FD.
就是△DEF的周長≤△DEF的周長.
因此,我們只要對于每一個BC上的點D,都找出相應(yīng)于該點的周長最短的內(nèi)接三角形DEF,在這些三角形中找出周長最短的一個就行.
（2）由于 AD1=AD,AD2=AD,故△AD1D2是等腰三角形.又由于∠1=∠2,∠3=∠4,故△AD1D2的頂角∠D1AD2=2∠BAC為定值,因此,只有當其腰AD1最短時,D1D2最短.此時必有AD最短.從而當 AD為△ABC的高時,內(nèi)接三角形DEF的周長最短.
（3）當AD為△ABC的高時,由前面三角形垂足三角形性質(zhì),可證△ABC的內(nèi)接三角形中,以其垂足三角形DEF的周長最短.