你的函數(shù)寫錯(cuò)了吧,黎曼函數(shù)R(x)=1/q（x是既約分?jǐn)?shù)p/q）,=0（x是無(wú)理數(shù)）無(wú)理數(shù)上連續(xù),有理數(shù)中不連續(xù),從而黎曼可積.滿足你給出的是狄利克雷函數(shù),它在R上任一點(diǎn)都是間斷的,不滿足黎曼可積.嗯，是我想錯(cuò)了，現(xiàn)在如何證明它任意一點(diǎn)間斷呢？語(yǔ)言論述任意有理數(shù)之間有無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)，任意無(wú)理數(shù)之間有無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)可以證明嗎？還有就是黎曼函數(shù)R(x)=1/q（x是既約分?jǐn)?shù)p/q），=0（x是無(wú)理數(shù)）現(xiàn)在剛開(kāi)始接觸測(cè)度論，我看的書上只提到這個(gè)函數(shù)很容易證得無(wú)理數(shù)上連續(xù)，有理數(shù)中不連續(xù)······可是怎么證呢······謝謝了狄利克雷那個(gè)好證，因?yàn)樵赗上不論是有理點(diǎn)還是無(wú)理點(diǎn)，它的”附近“都有無(wú)數(shù)個(gè)有理點(diǎn)和無(wú)理點(diǎn)，當(dāng)x趨于該點(diǎn)時(shí)，序列an無(wú)限次的重復(fù)取有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，而函數(shù)值f(xn)也就在0和1間無(wú)限次循環(huán)，故limxn不存在，所以狄利克雷函數(shù)在R上任一點(diǎn)都是它的第二類間斷點(diǎn)。黎曼函數(shù)那個(gè)證明很麻煩，不是一兩句能說(shuō)清的，你可以看看數(shù)學(xué)分析的教材，一般都有。