已知：偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

數(shù)學(xué)人氣：504 ℃時(shí)間：2019-08-18 07:18:13

優(yōu)質(zhì)解答

因?yàn)榕己瘮?shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；
且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）在（-∞，0）是減函數(shù)．
證明如下：若-∞＜x₁＜x₂＜0，那么0＜-x₂＜-x₁＜+∞．
由于偶函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
綜上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)