利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一個(gè)很好玩的做法
想像一個(gè)有圓圈構(gòu)成的正三角形,
第一行1個(gè)圈,圈內(nèi)的數(shù)字為1
第二行2個(gè)圈,圈內(nèi)的數(shù)字都為2,
以此類推
第n行n個(gè)圈,圈內(nèi)的數(shù)字都為n,
我們要求的平方和,就轉(zhuǎn)化為了求這個(gè)三角形所有圈內(nèi)數(shù)字的和.設(shè)這個(gè)數(shù)為r
下面將這個(gè)三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度,得到第二個(gè)三角形
再將第二個(gè)三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度,得到第三個(gè)三角形
然后,將這三個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的圓圈內(nèi)的數(shù)字相加,
我們神奇的發(fā)現(xiàn)所有圈內(nèi)的數(shù)字都變成了2n+1
而總共有幾個(gè)圈呢,這是一個(gè)簡(jiǎn)單的等差數(shù)列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6