點A(-2,0),B(2,0),動點P滿足∠APB=2a,且|PA|*|PB|sin²α=2,點P的軌跡為Q,過點B的直線L與軌跡交于M、N兩點,試問在X軸上是否存在點C,使向量CM點乘向量CN為常數(shù),存在,求之,不存在,說明理由
設(shè)動點P的坐標為（x, y),則向量PA=(x+2, y), 向量PB=(x-2, y).
│PA│=√[(x+2)²+y²], │PB│=√[(x-2)²+y²]
│PA││PB│sin²α=│PA││PB│(1-cos2α)/2=2
故有│PA││PB│-│PA││PB│cos2α=│PA││PB│- PA•PB
=√{[(x+2)²+y²][(x-2)²+y²]}-[(x+2)(x-2)+y²]=4
√{[(x+2)²+y²][(x-2)²+y²]}=x²+y²
兩邊平方去根號,化簡得P的軌跡方程為：x²/2-y²/4=1
即2x²-y²=4.(1)
這是一條雙曲線,其a=√2, b=2, c=√6,e=√3, 焦點在x軸上.
設(shè)C(m,0),過C的直線方程為 y=k(x-m).代入（1）式得：
2x²-k²(x-m)²=(2-k²)x²+2mk²x-m²k²-4=0
直線與雙曲線的交點M(x₁,y₁),N (x₂,y₂).則：
x₁+x₂=2mk²/(k²-2)
x₁x₂=(m²k²+4)/(k²-2)
y₁y₂=[k(x₁-m)][k(x₂-m)]=k²[x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²]
=k²[(m²k²+4)/(k²-2)-2m²k²/(k²-2)+m²]=(1-2m²)/(k²-2)
向量CM=（x₁-m, y₁); 向量CN=(x₂-m,y₂)
CM•CN=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂
=(m²k²+4)/(k²-2)-2m²k²/(k²-2)+m²+(1-2m²)/(k²-2)=(5-4m²)/(k²-2)=常量
則只有 5-4m²=0, 故 m=±(√5 )/2
即存在點C(±(√5 )/2 , 0)使CM•CN=0