世界近代三大數(shù)學難題之一四色猜想
四色猜想的提出來自英國.1852年,畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時,發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來,每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”這個結(jié)論能不能從數(shù)學上加以嚴格證明呢?他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試.兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊,可是研究工作沒有進展.
1852年10月23日,他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學家德.摩爾根,摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑,于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學家哈密爾頓爵士請教.哈密爾頓接到摩爾根的信后,對四色問題進行論證.但直到1865年哈密爾頓逝世為止,問題也沒有能夠解決.
1872年,英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題,于是四色 猜想成了世界數(shù)學界關(guān)注的問題.世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn) .1878～1880年兩年間,著名的律師兼數(shù)學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文,宣布證明了四色定理,大家都認為四色猜想從此也就解決了.
11年后,即1890年,數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的.不久,泰勒的證明也被人們否定了.后來,越來越多的數(shù)學家雖然對此絞盡腦汁,但一無所獲.于是,人們開始認識到,這個貌似容易的題目, 實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數(shù)學大師們的努力,為后世的數(shù)學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路.
進入20世紀以來,科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行.1913年,伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進了一些新技巧,美國數(shù)學家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色.1950年,有人從22國推進到35國.1960年,有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進到了50國.看來這種推進仍然十分緩慢.電子計算機問世以后,由于演算速度迅速提高,加之人機對話的出現(xiàn),大大加快了對四色猜想證明的進程.1976年,美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上,用了1200個小時,作了100億判斷,終于完成了四色定理的證明.四色猜想的計算機證明,轟動了世界.它不僅解決了一個歷時100多年的難題,而且有可能成為數(shù)學史上一系列新思維的起點.不過也有不少數(shù)學家并不滿足于計算機取得的成就,他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法.
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世界近代三大數(shù)學難題之一 費馬最后定理
被公認執(zhí)世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有
關(guān)數(shù)學難題得以解決的消息,那則消息的標題是「在陳年數(shù)學困局中,終於有人呼叫『
我找到了』」.時報一版的開始文章中還附了一張留著長發(fā)、穿著中古世紀歐洲學袍的
男人照片.這個古意盎然的男人,就是法國的數(shù)學家費馬（Pierre de Fermat）（費馬
小傳請參考附錄）.費馬是十七世紀最卓越的數(shù)學家之一,他在數(shù)學許多領(lǐng)域中都有極
大的貢獻,因為他的本行是專業(yè)的律師,為了表彰他的數(shù)學造詣,世人冠以「業(yè)余王子
」之美稱,在三百六十多年前的某一天,費馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學家戴奧芬多斯的
數(shù)學書時,突然心血來潮在書頁的空白處,寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內(nèi)
容是有關(guān)一個方程式 x2 + y2 =z2的正整數(shù)解的問題,當n=2時就是我們所熟知的畢氏定
理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2 + y2 =z2,此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之
兩股,也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和,這個方程式當然有
整數(shù)解（其實有很多）,例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…
等等.
費馬聲稱當n>2時,就找不到滿足xn +yn = zn的整數(shù)解,例如：方程式x3 +y3=z3就無法
找到整數(shù)解.
當時費馬并沒有說明原因,他只是留下這個敘述并且也說他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個定理的證明妙
法,只是書頁的空白處不夠無法寫下.始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題,三百
多年來無數(shù)的數(shù)學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功.這個號稱世紀難題的費馬最
后定理也就成了數(shù)學界的心頭大患,極欲解之而后快.
十九世紀時法國的法蘭西斯數(shù)學院曾經(jīng)在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質(zhì)獎章和
三百法郎給任何解決此一難題的人,可惜都沒有人能夠領(lǐng)到獎賞.德國的數(shù)學家佛爾夫
斯克爾（P?Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克,給能夠證明費馬最后定理是正確的人,
有效期間為100年.其間由於經(jīng)濟大蕭條的原因,此筆獎額已貶值至七千五百馬克,雖然
如此仍然吸引不少的「數(shù)學癡」.
二十世紀電腦發(fā)展以后,許多數(shù)學家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的
,1983年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確
的（注286243-1為一天文數(shù)字,大約為25960位數(shù)）.
雖然如此,數(shù)學家還沒有找到一個普遍性的證明.不過這個三百多年的數(shù)學懸案終於解
決了,這個數(shù)學難題是由英國的數(shù)學家威利斯（Andrew Wiles）所解決.其實威利斯是
利用二十世紀過去三十年來抽象數(shù)學發(fā)展的結(jié)果加以證明.
五0年代日本數(shù)學家谷山豐首先提出一個有關(guān)橢圓曲現(xiàn)的猜想,后來由另一位數(shù)學家志
村五郎加以發(fā)揚光大,當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關(guān)聯(lián).在八0年代德
國數(shù)學家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起,而威利斯所做的正是根據(jù)這個關(guān)聯(lián)
論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的,進而推出費馬最后定理也是正確的.這個結(jié)論
由威利斯在1993年的6月21日於美國劍橋大學牛頓數(shù)學研究所的研討會正式發(fā)表,這個報
告馬上震驚整個數(shù)學界,就是數(shù)學門墻外的社會大眾也寄以無限的關(guān)注.不過威利斯的
證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵,於是威利斯與他的學生又花了十四個月的時間再加以
修正.1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答,數(shù)學界的夢魘終於結(jié)束.1997年6
月,威利斯在德國哥庭根大學領(lǐng)取了佛爾夫斯克爾獎.當年的十萬法克約為兩百萬美金
,不過威利斯領(lǐng)到時,只值五萬美金左右,但威利斯已經(jīng)名列青史,永垂不朽了.
要證明費馬最后定理是正確的
（即xn + yn = zn 對n33 均無正整數(shù)解）
只需證 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P為奇質(zhì)數(shù)),都沒有整數(shù)解.
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世界近代三大數(shù)學難題之一 哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德國一位中學教師,也是一位著名的數(shù)學家,生于1690年,1725年當選為俄國彼得堡科學院院士.1742年,哥德巴赫在教學中發(fā)現(xiàn),每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)(只能被和它本身整除的數(shù))之和.如6＝3＋3,12＝5＋7等等. 1742年6月7日,哥德巴赫寫信將這個問題告訴給意大利大數(shù)學家歐拉,并請他幫助作出證明.歐拉在6月30日給他的回信中說,他相信這個猜想是正確的,但他不能證明.敘述如此簡單的問題,連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學家都不能證明,這個猜想便引起了許多數(shù)學家的注意.他們對一個個偶數(shù)開始進行驗算,一直算到3．3億,都表明猜想是正確的.但是對于更大的數(shù)目,猜想也應是對的,然而不能作出證明.歐拉一直到死也沒有對此作出證明.從此,這道著名的數(shù)學難題引起了世界上成千上萬數(shù)學家的注意.200年過去了,沒有人證明它.哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”.到了20世紀20年代,才有人開始向它靠近.1920年、挪威數(shù)學家布爵用一種古老的篩選法證明,得出了一個結(jié)論：每一個比大的偶數(shù)都可以表示為(99).這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學家們于是從(9十9)開始,逐步減少每個數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個數(shù),直到最后使每個數(shù)里都是一個質(zhì)數(shù)為止,這樣就證明了“哥德巴赫”. 1924年,數(shù)學家拉德馬哈爾證明了(7＋7)；1932年,數(shù)學家愛斯爾曼證明了(6＋6)；1938年,數(shù)學家布赫斯塔勃證明了(5十5),1940年,他又證明了(4＋4)；1956年,數(shù)學家維諾格拉多夫證明了(3＋3)；1958年,我國數(shù)學家王元證明了(2十3).隨后,我國年輕的數(shù)學家陳景潤也投入到對哥德巴赫猜想的研究之中,經(jīng)過10年的刻苦鉆研,終于在前人研究的基礎(chǔ)上取得重大的突破,率先證明了(l十2).至此,哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了.陳景潤的論文于1973年發(fā)表在中國科學院的《科學通報》第17期上,這一成果受到國際數(shù)學界的重視,從而使中國的數(shù)論研究躍居世界領(lǐng)先地位,陳景潤的有關(guān)理論被稱為“陳氏定理”.1996年3月下旬,當陳景潤即將摘下數(shù)學王冠上的這顆明珠,“在距離哥德巴赫猜想(1＋1)的光輝頂峰只有颶尺之遙時,他卻體力不支倒下去了……”在他身后,將會有更多的人去攀登這座高峰.
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先做這三道