在函數(shù)的三要素中,定義域和值域起決定作用,而值域是由定義域和對應(yīng)法則共同確定.研究函數(shù)的值域,不但要重視對應(yīng)法則的作用,而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用.確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán).對于如何求函數(shù)的值域,是學(xué)生感到頭痛的問題,它所涉及到的知識面廣,方法靈活多樣,在高考中經(jīng)常出現(xiàn),占有一定的地位,若方法運(yùn)用適當(dāng),就能起到簡化運(yùn)算過程,避繁就簡,事半功倍的作用.本文就函數(shù)值域求法歸納如下,供參考.
1. 直接觀察法
對于一些比較簡單的函數(shù),其值域可通過觀察得到.
例1. 求函數(shù) 的值域.
∵
∴
顯然函數(shù)的值域是：
例2. 求函數(shù) 的值域.
∵

故函數(shù)的值域是：
2. 配方法
配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一.
例3. 求函數(shù) 的值域.
將函數(shù)配方得：
∵
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時, ,當(dāng) 時,
故函數(shù)的值域是：[4,8]
3. 判別式法
例4. 求函數(shù) 的值域.
原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程

（1）當(dāng) 時,

解得：
（2）當(dāng)y=1時, ,而
故函數(shù)的值域?yàn)?
例5. 求函數(shù) 的值域.
兩邊平方整理得： （1）
∵
∴
解得：
但此時的函數(shù)的定義域由 ,得
由 ,僅保證關(guān)于x的方程： 在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根,而不能確保其實(shí)根在區(qū)間[0,2]上,即不能確保方程（1）有實(shí)根,由求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大,故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)?.
可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域.
∵

代入方程（1）
解得：
即當(dāng) 時,
原函數(shù)的值域?yàn)椋?
注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時,若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時,應(yīng)綜合函數(shù)的定義域,將擴(kuò)大的部分剔除.
4. 反函數(shù)法
直接求函數(shù)的值域困難時,可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域.
例6. 求函數(shù) 值域.
由原函數(shù)式可得：
則其反函數(shù)為： ,其定義域?yàn)椋?
故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?
5. 函數(shù)有界性法
直接求函數(shù)的值域困難時,可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性,反客為主來確定函數(shù)的值域.
例7. 求函數(shù) 的值域.
由原函數(shù)式可得：
∵
∴
解得：
故所求函數(shù)的值域?yàn)?
例8. 求函數(shù) 的值域.
由原函數(shù)式可得： ,可化為：

即
∵
∴
即
解得：
故函數(shù)的值域?yàn)?
6. 函數(shù)單調(diào)性法
例9. 求函數(shù) 的值域.
令
則 在[2,10]上都是增函數(shù)
所以 在[2,10]上是增函數(shù)
當(dāng)x=2時,
當(dāng)x=10時,
故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?
例10. 求函數(shù) 的值域.
原函數(shù)可化為：
令 ,顯然 在 上為無上界的增函數(shù)
所以 , 在 上也為無上界的增函數(shù)
所以當(dāng)x=1時, 有最小值 ,原函數(shù)有最大值
顯然 ,故原函數(shù)的值域?yàn)?
7. 換元法
通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù),其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型,換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一,在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用.
例11. 求函數(shù) 的值域.
令 ,
則
∵
又 ,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知
當(dāng) 時,
當(dāng) 時,
故函數(shù)的值域?yàn)?
例12. 求函數(shù) 的值域.
因
即
故可令
∴

∵

故所求函數(shù)的值域?yàn)?
例13. 求函數(shù) 的值域.
原函數(shù)可變形為：
可令 ,則有

當(dāng) 時,
當(dāng) 時,
而此時 有意義.
故所求函數(shù)的值域?yàn)?
例14. 求函數(shù) , 的值域.


令 ,則

由
且
可得：
∴當(dāng) 時, ,當(dāng) 時,
故所求函數(shù)的值域?yàn)?.
例15. 求函數(shù) 的值域.
由 ,可得
故可令

∵

當(dāng) 時,
當(dāng) 時,
故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?
8. 數(shù)形結(jié)合法
其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等,這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法,往往會更加簡單,一目了然,賞心悅目.
例16. 求函數(shù) 的值域.

原函數(shù)可化簡得：
上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2）, 間的距離之和.
由上圖可知,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時,
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線或反向延長線上時,
故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?
例17. 求函數(shù) 的值域.
原函數(shù)可變形為：

上式可看成x軸上的點(diǎn) 到兩定點(diǎn) 的距離之和,
由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時, ,
故所求函數(shù)的值域?yàn)?

例18. 求函數(shù) 的值域.
將函數(shù)變形為：
上式可看成定點(diǎn)A（3,2）到點(diǎn)P（x,0）的距離與定點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離之差.
即：
由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時,如點(diǎn) ,則構(gòu)成 ,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,有
即：
（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時,有
綜上所述,可知函數(shù)的值域?yàn)椋?

注：由例17,18可知,求兩距離之和時,要將函數(shù)式變形,使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè),而求兩距離之差時,則要使A,B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè).
如：例17的A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3,2）, ,在x軸的同側(cè)；例18的A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3,2）, ,在x軸的同側(cè).
9. 不等式法
利用基本不等式,求函數(shù)的最值,其題型特征解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧.
例19. 求函數(shù) 的值域.
原函數(shù)變形為：

當(dāng)且僅當(dāng)
即當(dāng) 時 ,等號成立
故原函數(shù)的值域?yàn)椋?
例20. 求函數(shù) 的值域.



當(dāng)且僅當(dāng) ,即當(dāng) 時,等號成立.
由 可得：
故原函數(shù)的值域?yàn)椋?
10. 一一映射法
原理：因?yàn)?在定義域上x與y是一一對應(yīng)的.故兩個變量中,若知道一個變量范圍,就可以求另一個變量范圍.
例21. 求函數(shù) 的值域.
∵定義域?yàn)?
由 得
故 或
解得
故函數(shù)的值域?yàn)?
11. 多種方法綜合運(yùn)用
例22. 求函數(shù) 的值域.
令 ,則
（1）當(dāng) 時, ,當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即 時取等號,所以
（2）當(dāng)t=0時,y=0.
綜上所述,函數(shù)的值域?yàn)椋?
注：先換元,后用不等式法
例23. 求函數(shù) 的值域.


令 ,則



∴當(dāng) 時,
當(dāng) 時,
此時 都存在,故函數(shù)的值域?yàn)?
注：此題先用換元法,后用配方法,然后再運(yùn)用 的有界性.
總之,在具體求某個函數(shù)的值域時,首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征,然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?一般優(yōu)先考慮直接法,函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法,然后才考慮用其他各種特殊方法.