大哥,這個明顯不是常系數(shù)啊
是歐拉方程吧
設(shè)x=e^t 則Lnx=t
xy'=dy/dt x^2y''=d^2y/dt^2-dy/dt
代入得
d^2y/dt^2+y=cost
這個才是常系數(shù)
先求d^2y/dt^2+y=0的通解 這個用特征方程也可以 設(shè)dy/dt=p 也可以解 都不困難
但是兩種方法解出來的表達式有不同
特征方程解出來y=C1cost+C2sint
按后種方法解出來 y=C1sin(t+C2)
當(dāng)然C1sin(t+C2)可以化為C1(sintcosC2+costsinC2),就和特征方程的解是一個樣子了
然后求特解
y''+y=cost=(1/2)e^it+(1/2)e^(-it)
分別求y''+y=(1/2)e^it
和y''+y=(1/2)e(-it)
的特解
特解分別是 y=-(it/4)e^it
和y=(it/4)e^(-it)
所以
y''+y=cost得特解是(it/4)[e^(-it)-e^(-it)]=(1/2)t*sint
所以原方程得解為y=C1cost+C2sint+(1/2)tsint
把t=Lnx代入得
y=C1cosLnx+C2sinLnx+(1/2)LnxsinLnx
注:cost=(1/2)e^it+(1/2)e^(-it)
(it/4)[e^(-it)-e^(-it)]=(1/2)t*sint
均是用的歐拉公式(歐拉公式和歐拉方程是兩碼事)
這一題是歐拉方程用到歐拉公式完全是巧合