由AB-BA = A有AB = BA+A = (B+E)A.
進而有AB² = (B+E)AB = (B+E)²A,AB³ = (B+E)³A,.,AB^k = (B+E)^k·A.
一般的,對任意多項式f(x),可得Af(B) = f(B+E)A.
進一步可得:A²f(B) = Af(B+E)A = f(B+2E)A²,A³f(B) = f(B+3E)A³,...,A^k·f(B) = f(B+kE)A^k.
如果存在多項式f(x)與正整數(shù)k使f(B) = 0,而f(B+kE)可逆.
那么由f(B+kE)A^k = A^k·f(B) = 0,可得A^k = 0,即A是冪零矩陣.
而冪零矩陣僅有零特征值 (若λ為A的特征值,則λ^k為A^k的特征值,由A^k = 0有λ = 0),即得結(jié)論.
于是只需找到滿足條件的多項式f(x)和正整數(shù)k.
由Hamilton-Cayley定理,當f(x)為B的特征多項式,有f(B) = 0.
設(shè)B的特征值,也即f(x)的n個根(計重數(shù))為λ1,λ2,...,λn.
易見存在正整數(shù)k,使λ1+k,λ2+k,...,λn+k都不是f(x)的根.
于是f(B+kE)的特征值f(λ1+k),f(λ2+k),...,f(λn+k)都不為0,即f(B+kE)可逆.
這樣所取的f(x)與k滿足要求.
注:最后這里用到結(jié)論:
若B的特征值為λ1,λ2,...,λn,f(x)是任意多項式,則f(B)的特征值為f(λ1),f(λ2),...,f(λn).
由B相似于上三角矩陣(如Jordan標準型),可以只對上三角矩陣證明,而對上三角矩陣是顯然的.