1.復(fù)域上的方陣都相似于一個Jordan形方陣(證明可見線性代數(shù)課本),就是說,A代表的線性變換對某個基的矩陣是Jordan形矩陣.Jordan形矩陣是下三角的,而題目所要求的矩陣是上三角的,因此考慮對A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型做一些變換.事實上,我們只要把A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型所對應(yīng)的基的順序調(diào)轉(zhuǎn)就可以了.基調(diào)轉(zhuǎn)順序以后還是基,而A關(guān)于這個基的矩陣是上三角的.你也可以這樣理A相似于一個Jordan形方陣,即存在可逆矩陣C,使A=C^(-1)*J*C,其中J為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.引入矩陣D,規(guī)定D的副對角線上的元素為1,其余元素為0,令E=D*J*D^(-1),則
A=C^(-1)*D^(-1)*E*D*C,其中,E是上三角陣.
2.A在某個基上的矩陣是Jordan形矩陣,所以研究A其實只需要研究它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型就可以了.設(shè)J是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,則存在可逆方陣C,使得A=C^(-1)*J*C,那么A^k=C^(-1)*J^k*C,進一步,如果f(x)是多項式函數(shù),那么f(A)=C^(-1)*f(J)*C,即f(A)相似于f(J),故f(A)與f(J)有相同的特征值.現(xiàn)在考慮J^k.J是下三角陣,計算可知,它的k次冪也是下三角陣(昨天寫成了Jordan陣,不好意思),而且,J^k的每個對角元正是J對應(yīng)對角元的k次冪,進一步,它的多項式函數(shù)還是下三角陣,即f(J)為下三角陣,而且f(J)的對角元正是J對應(yīng)對角元的多項式函數(shù),也就是f(λ1),f(λ2),...,f(λn).現(xiàn)在求f(J)的特征值,f(J)下三角,所以它的特征多項式容易計算,而且由于它的對角元是
f(λ1),f(λ2),...,f(λn),所以它的特征多項式不可能有f(λ1),f(λ2),...,f(λn)以外的根,也就是說f(A)的全部特征值就是f(λ1),f(λ2),...,f(λn).