已知拋物線y=ax^2+bx-3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與Y軸交于C點(diǎn),經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心M(1,m)恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上,圓M的半徑為根號(hào)5.設(shè)圓M與Y軸交于D,拋物線的頂點(diǎn)為E.
(1)求m的值及拋物線的解析式.
(2)設(shè)角DBC=阿爾法,角CBE=北他,求sin(阿爾法-北他)的值.
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P,A,C為頂點(diǎn)的三角形與三角形BCE相似?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置并直接寫出P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
1)拋物線y=ax^2+bx-3得c(0,-3)
圓心M(1,m)，圓M的半徑為根號(hào)5.得（1-0）^2+(m+3)^2=5得m=-1或-5
如圖，所以 m=-1 M(1,-1)
圓方程：（x-1）^2+（y+1）^2=5令y=0得x=-1或x=3,即A(-1,0),B(3,0)
令x=0得y=-3或y=1,即C(0,-3)D(0,1)
帶入拋物線y=ax^2+bx-3聯(lián)立得，a=1,b=-2
所以，拋物線y=x^2-2x-3
2）角DBC=α,角CBE=β
C(0,-3),B(3,0),D(0,1)
因?yàn)镋為頂點(diǎn)，E（1，-4）
BC=3√2,CE=√2,BE=2√5
BO=3,OD=1,BD=√10
所以BC:BO=CE:OD=BE:BD
所以△CBE∽△OBD
角CBE=角OBD=β
sin(α-β)=sin角CBO=OC:BC=3:3√2=√2/2
3)坐標(biāo)軸上不存在點(diǎn)P滿足△PAC∽△BCE
若存在△PAC∽△BCE,設(shè)P(x,y)
PA:BC=AC:CE=PC:BE
PA:3√2=√10:√2=PC:2√5=√5
PA=3√10;PC=10
(x+1)^2+y^2=(3√10)^2=90
令x=0得y=正負(fù)√89；令y=0得x=正負(fù)3√10-1
x^2+(y+3)^2=10^2=100
令x=0得y=7，y=-13；令y=0得x=正負(fù)3√91
所以坐標(biāo)軸上不存在點(diǎn)P
求完整的講解.