1、拓?fù)鋵W(xué)是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科,它和代數(shù)學(xué)一起構(gòu)成數(shù)學(xué)的兩大支柱.如果說代數(shù)學(xué)研究的是離散運(yùn)算的一般理論,那么拓?fù)鋵W(xué)則是研究連續(xù)映射的一般理論.和其他數(shù)學(xué)分支相比,拓?fù)鋵W(xué)是一門年輕的學(xué)科,它在20世紀(jì)初才從十九世紀(jì)的若干發(fā)展結(jié)晶成幾何的一個(gè)分支.拓?fù)鋵W(xué)所研究的是幾何圖形的那些經(jīng)過任意變形后,保持不變的性質(zhì).這些變形可以是壓縮、拉伸或任意的彎曲等等,但是,在變形過程中不允許產(chǎn)生新點(diǎn),也不允許兩點(diǎn)粘合在一起.這就是說,圖形相鄰近的點(diǎn),變形后仍然是相鄰近的,這種性質(zhì)稱為連續(xù)性；此外,圖形和變形的點(diǎn)之間存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng).因此,要求這個(gè)變形是連續(xù)的,并且逆變換也是連續(xù)的,這種變換稱為拓?fù)涞葍r(jià)或同胚.拓?fù)鋵W(xué)有一個(gè)形象的外號(hào)--橡皮幾何學(xué),因?yàn)槿绻麍D形是用橡皮做成的,就能把許多圖形變成同胚的圖形.
拓?fù)鋵W(xué)有很多不同的起源,這就使它分立成幾個(gè)分支,主要是點(diǎn)集拓?fù)浜痛鷶?shù)拓?fù)?點(diǎn)集拓?fù)?又稱一般拓?fù)?是在Cantor 集合論的強(qiáng)烈影響下形成的,它肇使于Frechet 1906年關(guān)于一般度量空間理論的論文和Hausdorff 1912年“集論基礎(chǔ)”一書的出現(xiàn).
Hilbert 空間,Banach空間的引進(jìn),泛函分析的興起,展現(xiàn)了把抽象點(diǎn)集引進(jìn)適當(dāng)結(jié)構(gòu)而作為空間來研究的重要性.拓?fù)淇臻g是這樣的集合,它上面賦于某種結(jié)構(gòu),利用這種結(jié)構(gòu),我們可以談點(diǎn)或子集之間的鄰近性,從而可以談?dòng)成涞倪B續(xù)性.在古典分析以泛函分析中,序列的極限居重要地位,因而使得分析中起作用的那些性質(zhì)都是拓?fù)湫再|(zhì).泛函分析中的算子就是從一個(gè)空間到另一個(gè)空間的映射.因此,拓?fù)鋵W(xué)自然地成為研究泛函分析的工具.代數(shù)拓?fù)涞钠鹪春忘c(diǎn)集拓?fù)涞钠鹪词遣煌?它的歷史可以追溯到更為久遠(yuǎn),在關(guān)于多面體的Euler 定理中已見代數(shù)拓?fù)涞亩四?Euler 對(duì)于這個(gè)定理感興趣是因?yàn)橐盟鼇碜鞫嗝骟w的分類.但他沒有注意到連續(xù)變換下的不變性.曲面的分類和Riemann的復(fù)變函數(shù)論方面的工作是推動(dòng)拓?fù)鋵W(xué).他引進(jìn)了基本群和同調(diào)群.促使他研究拓?fù)鋵W(xué)是一些經(jīng)典的幾何問題和積分理論.拓?fù)鋵W(xué)的方法和許多概念已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域,并在諸如物理學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)等學(xué)科中得到了應(yīng)用,今后這些應(yīng)用定會(huì)更加廣泛.《拓?fù)鋵W(xué)》（原書第2版)/華章數(shù)學(xué)譯叢
作者:(美)芒克里斯 譯者:熊金城 呂杰 譚楓
2、歐氏空間,在數(shù)學(xué)中是對(duì)歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化.這個(gè)一般化把歐幾里德對(duì)于距離、以及相關(guān)的概念長度和角度,轉(zhuǎn)換成任意數(shù)維的坐標(biāo)系.這是有限維、實(shí)和內(nèi)積空間的“標(biāo)準(zhǔn)”例子.
歐氏空間是一個(gè)的特別的度量空間,它使得我們能夠?qū)ζ涞耐負(fù)湫再|(zhì),例如緊性加以調(diào)查.內(nèi)積空間是對(duì)歐氏空間的一般化.內(nèi)積空間和度量空間都在泛函分析中得到了探討.
歐幾里德空間在對(duì)包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發(fā)揮了作用.一個(gè)定義距離函數(shù)的數(shù)學(xué)動(dòng)機(jī)是為了定義空間中圍繞點(diǎn)的開球.這一基本的概念正當(dāng)化了在歐氏空間和其他流形之間的微分.微分幾何把微分,會(huì)同導(dǎo)入機(jī)動(dòng)性手法,局部歐氏空間,探討了非歐氏流形的性質(zhì).
拓樸學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,主要是研究奇異形變的規(guī)律.通俗點(diǎn)說,拓樸是橡皮上的數(shù)學(xué)：在一個(gè)彈性較好地橡皮上畫上較為規(guī)矩的圖形（比如長方條格）后,用手任意扭曲它,畫在它上面的圖形將會(huì)發(fā)生各種奇異的變化,你會(huì)發(fā)現(xiàn)你從來沒有看到過的美妙圖形；或者你用手隨意捏弄一個(gè)氣不太足的氣球,使之此鼓彼突,你會(huì)看到印在它上面的圖案會(huì)發(fā)生不可思議的各種變化.而拓樸學(xué)正是用來研究這種圖形變化妙處之所在的規(guī)律的