微積分是微分與積分的統(tǒng)稱,微分與積分是一對(duì)逆運(yùn)算.微分能求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而積分是求出一個(gè)函數(shù)的原函數(shù),也就是根據(jù)導(dǎo)數(shù)求原先的函數(shù).
能求不規(guī)則圖形面積的是積分,準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)應(yīng)該是定積分.但是,這里所說(shuō)的不規(guī)則圖形,不是知道了形狀和邊長(zhǎng)就可以求出來(lái),而是處于直角坐標(biāo)系中的不規(guī)則但連續(xù)的曲線與x軸圍成的圖形的面積可以用定積分求出來(lái).
什么叫定積分呢?定積分就是,對(duì)一個(gè)函數(shù)積分后求出原函數(shù),定積分的積分符號(hào)上多了上下限,就把上限和下限各代入原函數(shù)中計(jì)算,再把兩者相減,定積分其實(shí)就是積分,只不過(guò)積分后要把上下限代入再相減.
如果我們要積分的函數(shù)是直角坐標(biāo)系上一條連續(xù)的曲線的函數(shù),上下限是這條曲線的區(qū)間,那么,這個(gè)函數(shù)定積分就是這條曲線在區(qū)間內(nèi)與x軸圍成的不規(guī)則圖形的面積.
其實(shí),深入探究后,定積分可以定義為一個(gè)黎曼和.什么叫黎曼和呢?要計(jì)算一個(gè)由直線圍成的圖形的面積很容易,但是由邊長(zhǎng)入手計(jì)算一個(gè)由曲線圍成的圖形的面積就很難.我們不難想到一個(gè)辦法,就是用切割方式去逼近曲線圖形的面積.對(duì)于一個(gè)曲線圍成的圖形,我們可以在里面畫許多的直線圍成的圖形,假設(shè)是矩形.它們的和就是這個(gè)曲線圖形的近似值.我們只畫一兩個(gè),由于直線曲線難相容,所以我們所畫的矩形與曲線圖形之間有很多空隙.但是如果我們畫更多矩形,不介意畫小一點(diǎn),那么,每個(gè)矩形的面積就會(huì)更小,但是數(shù)量更多,空隙更小,也就更接近曲線圖形的面積.假設(shè)每個(gè)矩形的面積相等,當(dāng)每個(gè)矩形的面積變成無(wú)限小的時(shí)候,理所當(dāng)然地曲線圖形中的矩形數(shù)量是無(wú)窮個(gè),它們的乘積的極限就是曲線圖形的面積.也就是說(shuō),黎曼和就是把一個(gè)曲線圖形分割成無(wú)限份規(guī)則圖形,可以是其它圖形,每份規(guī)則圖形的面積無(wú)限小,它們的和就是這個(gè)曲線圖形的面積.
因?yàn)槎ǚe分可以定義為一個(gè)黎曼和,那么,定積分就可以計(jì)算曲線圖形的面積了.