由題意可得:令t=1+e^x,所以x=ln(t-1)其中t>1
原式=∫√（1+e^x)dx=∫√t/(t-1)dt=∫√t/(t-1)d(t-1)
=∫(√t+1-1/(√t-1)(√t+1)d(t-1)
=∫[1/(√t-1)-1/(t-1)]d(t-1)
分別分析兩個(gè)不定積分
第一個(gè)積分 ∫[1/(√t-1)d(t-1)=∫[1/(√t-1)d(√t+1)(√t-1)
令√t-1=a,則√t=a+1代人可得上式)=∫[1/ada(a+2)=
∫(2/a+2)da=2lna+2a+C,將a=√t-1代人可得2ln(√t-1)+2(√t-1)+C
第二個(gè)積分∫1/(t-1)d(t-1)=ln(t-1)+C
兩者相減得2ln(√t-1)+2(√t-1)+C-ln(t-1)
將t=1+e^x代人有2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-lne^x+C
=2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-x+C
所以=∫√（1+e^x)dx=2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-x+C