已知二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c,若對x1,x2∈R且x1

數(shù)學(xué)人氣：235 ℃時間：2019-11-11 14:41:25

優(yōu)質(zhì)解答

證明：
∵f(x1)≠f(x2).
不妨設(shè)f(x1)＜f(x2).
另設(shè)f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知,A1＜A＜A2.
構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-A.(x1＜x＜x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A＜0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A＞0.
∴由“零點(diǎn)存在定理”可知,
必存在實(shí)數(shù)m∈(x1,x2),
滿足g(m)=f(m)-A=0.
即滿足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在（x1,x2)內(nèi)必有一實(shí)數(shù)根.