AE CE交E
BD CD交D
AF BF交F 記A=3α,B=3β,C=3γ,AE=m,AF=n,△ABC的三邊長為a、b、c．
由于3α+3β+3γ=180°．
所以α+β+γ=60°．α+β=60°-γ
而nsin(α+β)=csinβ
所以n=csinβ/sin(α+β)=csinβ/sin(60-γ)
類似地m=bsinγ/sin(60-β)
在△ABC中有bsin3γ=csin3β,
從而
m/n
=(sin3β*sinγ*sin(60-γ))/(sin3γ*sinβ*sin(60-β))
=(sin(60+β))/(sin(60+γ))
由于α+β+γ=60°．
所以存在以60°+β,60°+γ和α為內(nèi)角的三角形,
夾α角的兩邊之比為 (sin(60+β))/(sin(60+γ))=m/n
△EAF與這三角形相似,
從而 ∠AFE=60°+β ∠AEF=60°+γ
同法可證∠BFD=60°+α,
而 ∠AFB=180°-(α+β)
因此 ∠EFA+∠AFB+∠BFD=(60°+β)+(180°-α-β)+(60°+α)=300°
所以∠DFE=60°．
類似地,△DEF的另兩個內(nèi)角也為60°． 因此△DEF是等邊三角形．