莫利定理　
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莫利定理（Morley's theorem）,也稱(chēng)為莫雷角三分線定理. 　　將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分,靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn),則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形.這個(gè)三角形常被稱(chēng)作莫利正三角形. 　　該定理以其美妙和證明困難著稱(chēng).到目前為止,已經(jīng)有很多證明方法. 　　參考資料給出一種證明方法：設(shè)△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線,三邊長(zhǎng)為a,b,c,三內(nèi)角為3α,3β,3γ,則α+β+γ=60°. 　　證法一： 　　在△ABR中,由正弦定理,得AR=csinβ/sin(α+β). 　　不失一般性,△ABC外接圓直徑為1,則由正弦定理,知c=sin3γ,所以AR= 　?。╯in3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 　　2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 　　同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 　　在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 　　這是一個(gè)關(guān)于α,β,γ的對(duì)稱(chēng)式,同理可得PQ^2 ,PR^2 有相同的對(duì)稱(chēng)性,故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形. 　　證法二： 　　∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ）, 　　AF：AB=sinβ：sin（a+β） , 　　AB：AC=sin3γ：sin3β, 　　∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ）, 　　而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ）, 　　∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β), 　　∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ, 　　同理∠CED=60°+a, 　　∴∠DEF=60°, 　　∴△DEF為正三角形.