解
1.證明
連接OP 因為 OA=OB AP=BP OP=OP 所以△AOP全等于△BOP
則有∠OBP=90° PB⊥OB 所以PB是⊙O的切線
2.過O作AB的垂線OM,因為OA=OB 所以由三線合一有M是AB中點
連接PO 因為AP=BP 用三線合一可知PM⊥AB 所以AO過M點
接下來用等角的正弦值相等 即sin∠CAB=sin∠MDA 設圓O半徑是r
在RT△ABC中用勾股定理算出AB= 根號（4r²-1）
那么AM=根號（4r²-1） /2
所以根據sin∠CAB=sin∠MDA 可列
1/(2r) = （ 根號（4r²-1）乘以 根號3 ） /3
化簡得根號3= r乘以根號（4r²-1）
兩邊平方后 令k=r²
得4k²-k-3=0 解得k1=1 k2=-3/4 （舍）
所以r²=1 r1=1 r2=-1（舍）
答 圓O半徑是1
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