我這個(gè)方法比較麻煩,不知道有沒有簡單點(diǎn)的!
基本思想就是將FH旋轉(zhuǎn)90度得到F'H',只要證明F'E‖GH'且相等,就可以得到F'EGH'是平行四邊形,原題就能得到證明了.
四邊形ABCD繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度,得新的四邊形A'B'C'D',新四邊形A'與A點(diǎn)重合,邊A'B'與S1的一邊重合
邊B'C',D'A'外作四個(gè)正方形S'2 ,S'4
四個(gè)正方形S'2 ,S'4 的對(duì)角線交點(diǎn)F'、H',連接F'H',
因?yàn)镕H繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度得到F'H',所以FH⊥F'H',且FH=F'H'
連接EF'、GH',得四邊形F'EGH'
連接B'F'、B'E,連接DG、DH'
連接AC,DH'=DA*二分之根號(hào)二 ,DG=CD*二分之根號(hào)二
所以DH'/DG=DA/CD
∠ADH'=∠CDG=45度,所以∠ADC=∠H'DG
所以△DGH'與△DCA等比,所以GH'=AC*二分之根號(hào)二,且GH'與AC成45度角
B'E=AB*二分之根號(hào)二 ,B'F'=BC*二分之根號(hào)二
所以B'E/AB=B'F'/BC=二分之根號(hào)二
又∠C'B'F'=∠EB'A'=45度,所以∠EB'F'=∠A'B'C'=∠ABC (A'與A點(diǎn)重合)
所以△EB'F'與△ABC等比,所以EF'=AC*二分之根號(hào)二,且EF'與AC成-135度角(角度的負(fù)值是相對(duì)與GH'與AC成的角)
所以 GH'=EF',且GH'與EF'成的角度是45-（-135）=180度,就是GH'‖EF'
所以四邊形F'EGH'是平行四邊形
所以GE=F'H',GE‖F(xiàn)'H',又F'H'=FH且F'H'⊥FH
得到結(jié)論：GE=FH,GE⊥FH