142^3+6*286^3.
任意整數(shù)x,x^2用7除余數(shù)只能是0,1,2,4,且x用7除余數(shù)為0,則x^2用7除余數(shù)也為0,x用7除余數(shù)為1,6,則x^2用7除余數(shù)為1,x用7除余數(shù)為3,4,則x^2用7除余數(shù)為2,x用7除余數(shù)為2,5,則x^2用7除余數(shù)為4,按x^2用7除所得余數(shù)將1-1000中的數(shù)分為如下4類:
用7除余0的數(shù)記為A類,用7除余1,6的數(shù)記為B類,用7除余3,4的數(shù)記為C類,用7除余2,5的數(shù)記為D類,則每類的個數(shù)如下:
A類共有[1000/7]=142,B類共有143+143=286,C類共有143+143=286,D類共有143+143=286.
x^2+y^2+z^2被7整除,則x,y,z有如下幾種取法:
(1)x,y,z均取A類,共有142^3,(x,y,z每個數(shù)均有142種選擇).
(2)x,y,z分別取A,B,C類,共有6*286^3(x,y,z每個數(shù)均有142種選擇,另外選取的3個數(shù)任意全排列也是符號條件的選擇,故乘以6),
故x^2+y^2+z^2能被7整除的有序三組數(shù)（x,y,z）的組數(shù)為
142^3+6*286^3.